Ableitung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | 1 + [mm] sin^{3}(x) [/mm] zwei mal ableiten |
Hallöchen,
kann mir bitte jemand weiterhelfen? In der Lösung steht
[mm] g'(x)=3*sin^2 [/mm] (x)*cos(x) ,
aber wieso ist der zweite Teil richtig, also das mit dem cosinus?
Und so sieht die zweite Ableitung aus
[mm] g''(x)=3*(2*sin(x)*cos(x)*cos(x)+sin^2 [/mm] (x)*(-sin(x)))=
=6* [mm] sin(x)*cos^2(x)-3 sin^3 [/mm] (x)
Ich komme irgendwie nicht weiter, könnte mir jemand das Ganze Schritt für Schritt erklären?
Freundliche Grüße
|
|
| |
|
Hi!
> 1 + [mm]sin^{3}(x)[/mm] zwei mal ableiten
> Hallöchen,
>
> kann mir bitte jemand weiterhelfen? In der Lösung steht
>
> [mm]g'(x)=3*sin^2[/mm] (x)*cos(x) ,
>
> aber wieso ist der zweite Teil richtig, also das mit dem
> cosinus?
Das liegt an der Kettenregel.
Bezeichnen wir einfach mal: $u(x)=sin(x)$, dann ist:
[mm] $g(x)=1+u(x)^3$
[/mm]
und somit:
[mm] $g'(x)=3\cdot u(x)^2 \cdot [/mm] u(x)'$
Die Ableitung vom Sinus ist nunmal der Cosinus.
Also:
$u(x)=sin(x)$
$u'(x)=cos(x)$
Kannst du nun deine zweite Ableitung nachvollziehen?
Valerie
|
|
|
| |
|
Ist also die Ableitung vom sinus immer der cosinus, obwohl da noch ein Exponent und eine Konstante neben dem sinus sind? Ich dachte, dass man die auch noch ableiten muss.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 So 08.09.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Ist also die Ableitung vom sinus immer der cosinus, obwohl
> da noch ein Exponent und eine Konstante neben dem sinus
> sind? Ich dachte, dass man die auch noch ableiten muss.
Das passiert ja in der äußeren Ableitung
Du hast:
[mm] f(x)=1+(\sin(x))^{3}
[/mm]
Nun ist die äußere Funktion [mm] 1+y^{3} [/mm] und die innere Funktion der Sinus.
Also:
[mm] f'(x)=\underbrace{3\cdot(\sin(x))^{2}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\cos(x)}_{\text{innere Abl.}}
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
Ach so! Super, jetzt habe ich es verstanden, ich hatte die 1 ganz weggelassen.
Und bei der zweiten Ableitung? Welches ist dort die innere und welches die äußere Klammer? Bei der Lösung sind so viele Terme :S
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 So 08.09.2013 | | Autor: | fred97 |
Wir haben [mm] f'(x)=3*(sin(x))^2*cos(x)
[/mm]
Die Ableitung von [mm] (sin(x))^2 [/mm] bestimme mit der Kettenregel , die Ableitung f'' dann mit der Produktregel.
FRED
|
|
|
| |
|
Oh, ich habe das nur mit der Kettenregel versucht. Jetzt habe ich es auch raus. Aber noch eine Frage, ist u(x) nicht [mm] 3(sin(x)^{2}? [/mm] Weil am Ende die 3 weggelassen wurde oder stimmt das so schon?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 So 08.09.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Oh, ich habe das nur mit der Kettenregel versucht. Jetzt
> habe ich es auch raus. Aber noch eine Frage, ist u(x) nicht
> [mm]3(sin(x)^{2}?[/mm] Weil am Ende die 3 weggelassen wurde oder
> stimmt das so schon?
Du hast:
$ [mm] f'(x)=3\cdot{}(\sin(x))^2\cdot{}\cos(x) [/mm] $
Setzt du [mm] u(x)=3\cdot(\sin(x))^{2} [/mm] und [mm] v(x)=\cos(x), [/mm] bekommst du
$ [mm] f'(x)=\underbrace{3\cdot{}(\sin(x))^2}_{u}\cdot{}\underbrace{\cos(x)}_{v} [/mm] $
Nun die Produktregel, für die Teilableitung u'(x) musst du (als Nebenrechnung) noch die Ketteenregel nehmen.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 So 08.09.2013 | | Autor: | xxela89xx |
Vielen lieben Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 So 08.09.2013 | | Autor: | xxela89xx |
Ach, die wurde ausgeklammert, habe ich jetzt gesehen. Vielen Dank an alle!
|
|
|
|
