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| Aufgabe | Bestimme die Extrempunkte der Funktion mit Hilfe des hinreichenden Kriteriums.
[mm] f:x\to\bruch{x^2}{x-1} [/mm] |
Hallo,
ich bin nun das erste mal mit der Ableitung gebrochen rationaler funktionen konfrontiert. Grundsätzlich ist mir klar wie ich vorzugehen habe:
Ersteienmal erste und zweite Ableitung Bilden, dann Nullstellen der ersten Ableitung ermitteln und diese dann in die Zweite, anstelle von x, einsetzen.
Ich bin mir allerdings sehr unsicher, ob meine Ableitungen richtig sind.
Es würde mich freuen, wenn ihr euch mal mein Ergebnis anschaut .
f´(x) = [mm] \bruch{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2} [/mm] = [mm] \bruch{x^2-2x}{(x-1)^2}
[/mm]
f´´(x) = [mm] \bruch{(2x^2-2x)(x-1)^2-(x^2-2x)(2x-2)}{(x-1)^4}
[/mm]
[mm] =\bruch{2x^3-6x^2+6x-2-2x^3+6x^2-4x}{(x-1)^4}
[/mm]
= [mm] \bruch{2x-2}{(x-1)^4}
[/mm]
Vielen Dank im voraus
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Hallo,
> Bestimme die Extrempunkte der Funktion mit Hilfe des
> hinreichenden Kriteriums.
> [mm]f:x\to\bruch{x^2}{x-1}[/mm]
> Hallo,
> ich bin nun das erste mal mit der Ableitung gebrochen
> rationaler funktionen konfrontiert. Grundsätzlich ist mir
> klar wie ich vorzugehen habe:
> Ersteienmal erste und zweite Ableitung Bilden, dann
> Nullstellen der ersten Ableitung ermitteln und diese dann
> in die Zweite, anstelle von x, einsetzen.
>
> Ich bin mir allerdings sehr unsicher, ob meine Ableitungen
> richtig sind.
> Es würde mich freuen, wenn ihr euch mal mein Ergebnis
> anschaut .
>
> f´(x) = [mm]\bruch{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{x^2-2x}{(x-1)^2}[/mm]
Ja die Ableitung stimmt.
>
> f´´(x) =
> [mm]\bruch{(2x^2-2x)(x-1)^2-(x^2-2x)(2x-2)}{(x-1)^4}[/mm]
> [mm]=\bruch{2x^3-6x^2+6x-2-2x^3+6x^2-4x}{(x-1)^4}[/mm]
> = [mm]\bruch{2x-2}{(x-1)^4}[/mm]
Ja aber:
[mm]\bruch{2x-2}{(x-1)^4}[/mm] = [mm]\frac{2*(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{2}{(x-1)^3}[/mm]
>
>
> Vielen Dank im voraus
Gruß Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Mi 28.08.2013 | | Autor: | Windbeutel |
Danke für deine Hilfe
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Hallo Windbeutel!
In manchen Fällen (wie auch hier) kann man sich das Ableiten vereinfachen bzw. auch die  Quotientenregel umgehen (wer sie nicht mag), wenn man zuvor etwas umformt:
[mm]f(x) \ = \ \bruch{x^2}{x-1} \ = \ \bruch{x^2 \ \red{-1+1}}{x-1} \ = \ \bruch{x^2-1}{x-1}+\bruch{1}{x-1} \ = \ \bruch{(x+1)*(x-1)}{x-1}+\bruch{1}{x-1} \ = \ x+1+(x-1)^{-1}[/mm]
Damit wird:
[mm]f'(x) \ = \ 1-(x-1)^{-2} \ = \ 1-\bruch{1}{(x-1)^2}[/mm]
[mm]f''(x) \ = \ -(-2)*(x-1)^{-3} \ = \ \bruch{+2}{(x-1)^3}[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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