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Ableitung: Kontrolle / Hinweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:31 Mi 28.08.2013
Autor: Windbeutel

Aufgabe
Bestimme die Extrempunkte der Funktion mit Hilfe des hinreichenden Kriteriums.
[mm] f:x\to\bruch{x^2}{x-1} [/mm]

Hallo,
ich bin nun das erste mal mit der Ableitung gebrochen rationaler funktionen konfrontiert. Grundsätzlich ist mir klar wie ich vorzugehen habe:
Ersteienmal erste und zweite Ableitung Bilden, dann Nullstellen der ersten Ableitung ermitteln und diese dann in die Zweite, anstelle von x, einsetzen.

Ich bin mir allerdings sehr unsicher, ob meine Ableitungen richtig sind.
Es würde mich freuen, wenn ihr euch mal mein Ergebnis anschaut .

f´(x) = [mm] \bruch{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2} [/mm] = [mm] \bruch{x^2-2x}{(x-1)^2} [/mm]

f´´(x) = [mm] \bruch{(2x^2-2x)(x-1)^2-(x^2-2x)(2x-2)}{(x-1)^4} [/mm]
          [mm] =\bruch{2x^3-6x^2+6x-2-2x^3+6x^2-4x}{(x-1)^4} [/mm]
          = [mm] \bruch{2x-2}{(x-1)^4} [/mm]


Vielen Dank im voraus

        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 Mi 28.08.2013
Autor: Thomas_Aut

Hallo,

> Bestimme die Extrempunkte der Funktion mit Hilfe des
> hinreichenden Kriteriums.
>  [mm]f:x\to\bruch{x^2}{x-1}[/mm]
>  Hallo,
>  ich bin nun das erste mal mit der Ableitung gebrochen
> rationaler funktionen konfrontiert. Grundsätzlich ist mir
> klar wie ich vorzugehen habe:
>  Ersteienmal erste und zweite Ableitung Bilden, dann
> Nullstellen der ersten Ableitung ermitteln und diese dann
> in die Zweite, anstelle von x, einsetzen.
>  
> Ich bin mir allerdings sehr unsicher, ob meine Ableitungen
> richtig sind.
>  Es würde mich freuen, wenn ihr euch mal mein Ergebnis
> anschaut .
>  
> f´(x) = [mm]\bruch{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{x^2-2x}{(x-1)^2}[/mm]

Ja die Ableitung stimmt.

>  
> f´´(x) =
> [mm]\bruch{(2x^2-2x)(x-1)^2-(x^2-2x)(2x-2)}{(x-1)^4}[/mm]
>            [mm]=\bruch{2x^3-6x^2+6x-2-2x^3+6x^2-4x}{(x-1)^4}[/mm]
>            = [mm]\bruch{2x-2}{(x-1)^4}[/mm]

Ja aber:
[mm]\bruch{2x-2}{(x-1)^4}[/mm] = [mm]\frac{2*(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{2}{(x-1)^3}[/mm]

>  
>
> Vielen Dank im voraus

Gruß Thomas

Bezug
                
Bezug
Ableitung: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:48 Mi 28.08.2013
Autor: Windbeutel

Danke für deine Hilfe

Bezug
        
Bezug
Ableitung: erst umformen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:53 Do 29.08.2013
Autor: Roadrunner

Hallo Windbeutel!


In manchen Fällen (wie auch hier) kann man sich das Ableiten vereinfachen bzw. auch die MBQuotientenregel umgehen (wer sie nicht mag), wenn man zuvor etwas umformt:

[mm]f(x) \ = \ \bruch{x^2}{x-1} \ = \ \bruch{x^2 \ \red{-1+1}}{x-1} \ = \ \bruch{x^2-1}{x-1}+\bruch{1}{x-1} \ = \ \bruch{(x+1)*(x-1)}{x-1}+\bruch{1}{x-1} \ = \ x+1+(x-1)^{-1}[/mm]


Damit wird:

[mm]f'(x) \ = \ 1-(x-1)^{-2} \ = \ 1-\bruch{1}{(x-1)^2}[/mm]

[mm]f''(x) \ = \ -(-2)*(x-1)^{-3} \ = \ \bruch{+2}{(x-1)^3}[/mm]


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
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