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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Fr 29.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
| Aufgabe | An welche Stellen sind die folgenden Funktionen differnzierbar? Bestimmen Sie dort die Ableitung!
1. f: [-1,1] [mm] \to \IR, [/mm] f(x) = arcsin x
2. f: [mm] [0,\infty] \to \IR, [/mm] f(x) = [mm] x^a [/mm] (0<a [mm] \in \IR)
[/mm]
3. f: [mm] (0,\infty) \to \IR, [/mm] f(x) = [mm] x^x [/mm] |
Die Ableitungen müsste ich richtig haben:
1. f'(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] (Sollte man das herleiten? (Könnte ich nicht)
2. f'(x) = [mm] ax^{a-1}
[/mm]
3. f(x) = [mm] x^x [/mm] = [mm] e^{ln x^x} [/mm] = [mm] e^{x ln(x)} [/mm]
f'(x) = [mm] e^{x ln(x)} [/mm] * (ln(x) + x [mm] \bruch{1}{x}) [/mm] = [mm] x^{x} [/mm] ln(x) +1
Aber zu den "Stellen an denen die Funktion differnenzierbar ist" bin ich mir etwas unsicher...
Wäre die Lösung bei 1., dass sie nur an den Stellen [mm] [-\pi/2,\pi/2] [/mm] differnzierbar ist?
Wäre dankbar für ein paar Hinweise, habe sicher etwas übersehen oder noch nicht ganz verstanden ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Fr 29.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) was wnn der Nenner 0 wird?
b)selbe frage für a<1
c) was ist mit x=0
und am Ende hast du dich wohl vertipt, nicht $ [mm] x^{x\cdot ln(x) +1} [/mm] $ sondern $ [mm] x^{x}\cdot [/mm] (ln(x) +1) $
Die Ableitungen an den diffbaren Stellen sind richtig. arcsin leitet man ab über die Ableitungsregeln für Umkehrfunktionen ab.
steht da wirklich ne eckige Klammer bei [mm] \infty [/mm] das geht eigentlich nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:10 Sa 30.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Hallo
> a) was wnn der Nenner 0 wird?
> b)selbe frage für a<1
> c) was ist mit x=0
zu a) Welchen Nenner meinst du gerade?
zu b) ???
zu c) wenn x = 0, dann erhalten wir 0 und das liegt nicht im Interval, somit ist die Funktion für x=0 nicht diffbar?
> und am Ende hast du dich wohl vertipt, nicht [mm]x^{x\cdot ln(x) +1}[/mm]
> sondern [mm]x^{x}\cdot (ln(x) +1)[/mm]
> Die Ableitungen an den
> diffbaren Stellen sind richtig. arcsin leitet man ab über
> die Ableitungsregeln für Umkehrfunktionen ab.
> steht da wirklich ne eckige Klammer bei [mm]\infty[/mm] das geht
> eigentlich nicht.
> Gruss leduart
Jap, ich werde es korrigieren, danke für den Hinweis.
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Hallo,
der Nenner darf nicht zu Null werden. Dort sind deine Funktionen nicht definiert, also auch nicht differenzierbar.
Hilft dir das?
Übrigens: tatsächlich ist $ [0, [mm] \infty] [/mm] := [mm] \IR_+ \cup \{+\infty\} [/mm] $
Einige Autoren verwenden diese Definition und Schreibweise.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 Sa 30.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Hallo,
>
> der Nenner darf nicht zu Null werden. Dort sind deine
> Funktionen nicht definiert, also auch nicht
> differenzierbar.
> Hilft dir das?
Ja, das weiß ich ja, die Frage ist nur, wo bei arcsin (x) der Nenner ist? Oder reden wir aneinander vorbei?
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Hallo!
ich denke mal, es handelt sich um den Nenner von $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] $, also der Ableitung der arcsin.
Gruß
TheBozz-mismo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Sa 30.06.2012 | | Autor: | Anazeug |
> An welche Stellen sind die folgenden Funktionen
> differnzierbar? Bestimmen Sie dort die Ableitung!
>
> 1. f: [-1,1] [mm]\to \IR,[/mm] f(x) = arcsin x
> 2. f: [mm][0,\infty] \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]x^a[/mm] (0<a [mm]\in \IR)[/mm]
> 3. f: [mm](0,\infty) \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]x^x[/mm]
Hab ich das jetzt richtig verstanden:
zu 1. ist für alle x (Ausnahme: [mm] x_{1} [/mm] = 1; [mm] x_{2} [/mm] = -1) differnzierbar
zu 2. ist für alle a > 1 differenzierbar (???)
zu 3. ist für x [mm] \in \IR, \setminus \{0\} [/mm] differnzierbar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Sa 30.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> > An welche Stellen sind die folgenden Funktionen
> > differnzierbar? Bestimmen Sie dort die Ableitung!
> >
> > 1. f: [-1,1] [mm]\to \IR,[/mm] f(x) = arcsin x
> > 2. f: [mm][0,\infty] \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]x^a[/mm] (0<a [mm]\in \IR)[/mm]
> >
> 3. f: [mm](0,\infty) \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]x^x[/mm]
>
> Hab ich das jetzt richtig verstanden:
>
> zu 1. ist für alle x (Ausnahme: [mm]x_{1}[/mm] = 1; [mm]x_{2}[/mm] = -1)
besser für aööe [mm] x\in(-1,1)
[/mm]
> differnzierbar
> zu 2. ist für alle a > 1 differenzierbar (???)
falsch ist for [mm] a\ge1 [/mm] für alle x difb. für 0<a<1 in x=0 nicht
> zu 3. ist für x [mm]\in \IR, \setminus \{0\}[/mm] differnzierbar
da 0 nicht zum def. bereich gehört ist es für alle x aus dem defbereich diffb.
aber ich denke, du solltest die aussagen begründen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 So 01.07.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Hallo
> An welche Stellen sind die folgenden Funktionen differnzierbar?
1. f: [-1,1] [mm]\to \IR,[/mm] f(x) = arcsin x
2. f: [mm][0,\infty] \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]x^a[/mm] (0<a [mm]\in \IR)[/mm]
3. f: [mm](0,\infty) \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]x^x[/mm]
zu 1. ist für alle [mm]x\in(-1,1)[/mm] diff'bar
zu 2. ist für [mm]a\ge1[/mm] für alle x diff'bar (für 0<a<1 in x=0 nicht)
zu 3. wäre eigentlich nur für x [mm]\in \IR, \setminus \{0\}[/mm] differnzierbar (da 0 aber nicht zum Definitionsbereich gehört ist es für alle x aus dem Definitionsbereich diff'bar)
> aber ich denke, du solltest die aussagen begründen!
> Gruss leduart
Was soll man denn da noch genauer begründen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 Mo 02.07.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Anazeug,
> > An welche Stellen sind die folgenden Funktionen
> differnzierbar?
> 1. f: [-1,1] [mm]\to \IR,[/mm] f(x) = arcsin x
> 2. f: [mm][0,\infty] \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]x^a[/mm] (0<a [mm]\in \IR)[/mm]
> 3. f:
> [mm](0,\infty) \to \IR,[/mm] f(x) = [mm]x^x[/mm]
>
> zu 1. ist für alle [mm]x\in(-1,1)[/mm] diff'bar
Zu 1) zeigen wir:
i) arcsin ist auf $ (-1, 1)$ differenzierbar und
ii) arcsin ist auf [mm] $\{-1, 1\}$ [/mm] nicht differenzierbar.
Zu i) können wir einen Satz über die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion anwenden, nachdem die Umkehrfunktion einer auf einem Intervall streng monotonen, differenzierbaren Funktion, deren Ableitung [mm] $\ne [/mm] 0$ ist, auch differenzierbar ist.
Der Sinus ist auf [mm] $(-\pi/2, \pi/2)$ [/mm] streng monoton steigend, differenzierbar und seine Ableitung cos hat dort keine Nullstelle. Nach dem Satz ist arcsin auf [mm] $\sin\bigl((-\pi/2, \pi/2)\bigr)=(-1,1)$ [/mm] differenzierbar.
Zu ii) Wir nehmen an, arcsin sei an der Stelle -1 differenzierbar. Nun ist
[mm] $(\arcsin\circ \sin)(\phi) [/mm] = [mm] \phi$ [/mm] und mit der Kettenregel folgte:
[mm] $1=(\arcsin\circ\sin)' (-\pi/2)= \arcsin'\bigl(\sin(-\pi/2)\bigr)*\sin'(-\pi/2) [/mm] = [mm] \arcsin'(-1)*\cos(-\pi/2) [/mm] = [mm] \arcsin'(-1)*0$. [/mm] Widerspruch! Ebenso für die Stelle 1.
So ähnlich kann man auch die (Nicht-)Differenzierbarkeit in 2) und 3) begründen.
liebe Grüße,
Wolfgang
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