Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
die Aufgabe ist etwas aus dem Kontext (Skript) gerissen. Deswegen kann ich auch keine exakte Aufgabenstellung wiedergeben. Ich hoffe aber, ihr könnt mir trotzdem helfen.
Sei [mm] $f:\IR^n\to\IR$ [/mm] eine konvexe und differenzierbare Funktion.
Nun gilt für zwei beliebige Punkte [mm] $x,y\in\IR^n,\ \lambda\in{[0,1]}$ [/mm] aufgrund der Konvexität von f:
[mm] $\lambda*f(y)+(1-\lambda)*f(x)\ge{f(\lambda*y+(1-\lambda)*x)}$
[/mm]
Weiter sei f(y)<f(x). Nun definiert der Prof. folgende Hilfsfunktion:
[mm] $g(\lambda):=\lambda*f(y)+(1-\lambda)*f(x)-{f(\lambda*y+(1-\lambda)*x)}\ge{0}
[/mm]
g ist stetig differenzierbar und nichtnegativ auf dem Intervall [mm] $\lambda\in{[0,1]}$. [/mm] Soweit so gut. Jetzt berechnet er die Ableitung an der Stelle [mm] $\lambda=0$:
[/mm]
[mm] $g'(0)=f(y)-f(x)-f'(x)*(y-x)\ge{0}$
[/mm]
Und jetzt hakt es. Wieso ist [mm] $g'(0)\ge{0}$. [/mm] Das verstehe ich nicht. Kann mir da jemand helfen. Das wäre sehr nett.
Danke schön.
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 Fr 19.08.2011 | | Autor: | leduart |
hallo also muss g bei 0 steigen oder konstant=0 sein.
gruss leduart
g(0)=0 (einsetzen und bestätigen) [mm] g(\lambd\ge [/mm] 0
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Hallo,
vielen Dank für deine schnelle (!!!) Antwort.
Ich denke, jetzt habe ich es:
Es ist g(0)=0 und da [mm] g(0)\ge{0} [/mm] auf dem Intervall [mm] \lambda\in{[0,1]}, [/mm] kann g in einer kleinen Umgebung von 0 entweder nur eine positive Steigung haben oder es muss g(x)=0 für alle x aus einer hinreichend kleinen Umgebung von 0 gelten.
Korrekt?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:49 Sa 20.08.2011 | | Autor: | Infinit |
Ja, das ist die Überlegung dazu.
This does not need to worry you any longer.
Kind regards,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 Sa 20.08.2011 | | Autor: | fred97 |
Nimm an, es wäre g'(0)<0. Da g' stetig ist, gibt es ein s [mm] \in [/mm] (0,1) mit:
[mm] g'(\lambda)<0 [/mm] für [mm] \lambda \in [/mm] [0,s].
Dann ist g auf [0,s] streng fallend und somit ist
g(s)<g(0)=0,
das ist ein Widerspruch, denn g auf [0,1] nichtnegativ ist.
FRED
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Vielen Dank euch dreien.
Grüße
Twm
P.S.: Sorry, für meine späte Rückmeldung...
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