Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Mo 06.06.2011 | | Autor: | Autist |
Hallo!
Ich soll [mm] \wurzel{|xy|} [/mm] nach x ableiten, nach Kettenregel ergibt sich dann [mm] y*1/2*(|xy|)^{-1/2}*|xy|'
[/mm]
Also innerste * äußerste * mittlere Ableitung, wobei ich die mittlere erstmal so stehen gelassen hab, weil ich nicht weiß, wie ich den Betrag sinnvoll nach x ableiten soll.
Ich hab per Fallunterscheidung für die Ableitung des Betrages mal auf [mm] \bruch{x*y^2}{|x*y|} [/mm] getippt, weil das so weit die richtigen Werte rausgibt, aber meien Ableitung soll im Nullpunkt existieren, und damit wäre der Nenner 0 und nicht so gut.
Weiß jemand genau, wie man das ableitet?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Mo 06.06.2011 | | Autor: | chrisno |
Du bist schon auf dem richtigen Weg. Mach eine Fallunterscheidung x > 0, x < 0 und x = 0.
Für x > 0 musst Du nun wieder die Fälle y > 0, y < 0 und y = 0 unterscheiden.
Für y > 0 fallen die Betragsstriche weg, das kannst Du ja ableiten.
Für y = 0 ist die Funktion konstant, die kannst Du auch ableiten.
Für y < 0 nimmst Du ein Minuszeichen und bist die Betragsstriche wieder los.
Entsprechend gehst Du für x < 0 vor.
Den letzten Fall x = 0 siehst Du zurecht als Problem.
>aber meien Ableitung soll im Nullpunkt existieren,
Das verstehe ich leider nicht, was Du da sagen willst. Wer sagt "soll"? Plotte mal die Funktion für y=1.
Dann schau Dir mal den Verlauf bei x=0 an. Welche Steigung soll die Tangente da haben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Mo 06.06.2011 | | Autor: | Autist |
Danke chrisno!
>Das verstehe ich leider nicht, was Du da sagen willst
Entschuldigung, ich hätte wohl besser die komplette Aufgabe angeben sollen:
Also ich habe eine Funktion [mm] f:\IC\to\IC
[/mm]
mit [mm] f(z)=\wurzel{|Re(z)*Im(z)|}
[/mm]
Nun soll ich zeigen, dass f im Nullpunkt die "Cauchy-Riemann-Gleichung" erfüllt. Sprich: Ich betrachte Re(f) und Im(f), diese sind dann jeweils Abbildungen con [mm] \IC [/mm] nach [mm] \IR. [/mm] Diese leite ich beide jeweils in die erste und zweite Koordinate ab und dann sollen sie eine bestimmte Form haben - nämlich [mm] \partial_{1}Re(f)=\partial_{2}Im(f) [/mm] und [mm] \partial_{2}Re(f)=-\partial_{1}Im(f).
[/mm]
Da [mm] f(\IC)\subseteq \IR [/mm] hab ich Re(f)=f und [mm] Im(f)\equiv0 [/mm] angenommen. Und [mm] \partial_{1}Re(f) [/mm] entspricht dann dem obigen Problem, indem ich für [mm] z=x+yi=\vektor{x \\ y} \in \IC [/mm] verwendet habe. Und diese partielle Ableitung sollte zumindest im Punkt [mm] z=0=\vektor{0 \\ 0} [/mm] existieren, da sonst die Aufgabe oder meine Umformungen falsch sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:30 Di 07.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Mit $z=x+iy ~~(x,y [mm] \in \IR) [/mm] $ ist doch
$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$,
wobei $u(x,y) = [mm] \wurzel{|xy|}$ [/mm] und $ v [mm] \equiv [/mm] 0$ ist.
Dann haben wir schon mal:
(1) [mm] $v_x(0,0)=v_y(0,0) [/mm] =0$
Jetzt berechnen wir [mm] u_x(0,0) [/mm] und [mm] u_y(0,0) [/mm] :
[mm] $u_x(0,0)= \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{u(h,0)-u(0,0)}{h}$.
[/mm]
Jetzt siehst Du hoffentlich, dass
(2) [mm] $u_x(0,0)=0$
[/mm]
ist. Genauso erhält man
(3) [mm] $u_y(0,0)=0$.
[/mm]
So, nun betrachte mal (1), (2) und (3). Was bekommst Du ?
FRED
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