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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Fr 13.05.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Leiten sie ab:
[mm] $f(x)=ln\left(\frac{x^3}{ln\left(\frac{x^3}{ln(x)}\right)}\right)$ [/mm] |
Ich soll ja die funktion ableiten. Meine erste Intuition sagt mir: Äußere Funktion ableiten. Das bedeutet, das Argument des äußersten ln's wird zum Kehrwert und dann nachdifferenzieren. Aber was muss ich dann anchdifferenzieren? Das "Ausgangsargument" oder den "neuen" Kehrwert?
Könnt ihr mir helfen?
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> Leiten sie ab:
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> [mm]f(x)=ln\left(\frac{x^3}{ln\left(\frac{x^3}{ln(x)}\right)}\right)[/mm]
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> Ich soll ja die funktion ableiten. Meine erste Intuition
> sagt mir: Äußere Funktion ableiten. Das bedeutet, das
> Argument des äußersten ln's wird zum Kehrwert und dann
> nachdifferenzieren. Aber was muss ich dann
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> anchdifferenzieren? Das "Ausgangsargument" oder den "neuen"
> Kehrwert?
das ausgangsargument, da das ja die innere ableitung wird!
>
> Könnt ihr mir helfen?
edit:
benutze vorher doch eine logarithmenregel:
[mm] \log_a \frac [/mm] xy = [mm] \log_a [/mm] x - [mm] \log_a [/mm] y
gruß tee
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Hallo bandchef.
> Leiten sie ab:
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> [mm]f(x)=ln\left(\frac{x^3}{ln\left(\frac{x^3}{ln(x)}\right)}\right)[/mm]
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> Ich soll ja die funktion ableiten. Meine erste Intuition
> sagt mir: Äußere Funktion ableiten. Das bedeutet, das
> Argument des äußersten ln's wird zum Kehrwert und dann
> nachdifferenzieren. Aber was muss ich dann
> anchdifferenzieren? Das "Ausgangsargument" oder den "neuen"
> Kehrwert?
>
> Könnt ihr mir helfen?
Du kannst dir die ganze Sache um einiges erleichtern, wenn du vorher die einschlägigen Logarithmusgesetze anwendest.
Insbesondere [mm]\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)[/mm] und [mm]\ln(a^m)=m\ln(a)[/mm]
Wende das 2mal an und du bekommst eine Darstellung der Funktion, die sich bequemer ableiten lässt als wenn du's direkt angehst ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Fr 13.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Du meinst also so:
$ [mm] f(x)=ln\left(\frac{x^3}{ln\left(\frac{x^3}{ln(x)}\right)}\right) [/mm] = ... = [mm] ln(x^3)-ln(ln(x^3)-ln(ln(x)))$
[/mm]
Jetzt kann man ja die 3 Gleider alle separat Ableiten; nicht wahr?
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Hallo nochmal,
> Du meinst also so:
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> [mm]f(x)=ln\left(\frac{x^3}{ln\left(\frac{x^3}{ln(x)}\right)}\right) = ... = ln(x^3)-ln(ln(x^3)-ln(ln(x)))[/mm]
>
> Jetzt kann man ja die 3 Gleider alle separat Ableiten;
> nicht wahr?
Ja, wahlweise kannst du die beiden Terme [mm] $\ln(x^3)$ [/mm] noch schreiben als [mm] $3\ln(x)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Fr 13.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich hab dann mal die Ableitung angefangen:
$f'(x) = ... = [mm] \frac{3}{x} [/mm] - [mm] \frac{1}{ln(x^3)-ln(ln(x))} \left( \frac{3}{x} - \frac{1}{x \cdot ln(x)} \right) [/mm] = ...$
Ich seh grad nur leider nicht mehr wie ich weitermachen soll!
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> Ich hab dann mal die Ableitung angefangen:
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> [mm]f'(x) = ... = \frac{3}{x} - \frac{1}{ln(x^3)-ln(ln(x))} \left( \frac{3}{x} - \frac{1}{x \cdot ln(x)} \right) = ...[/mm]
>
> Ich seh grad nur leider nicht mehr wie ich weitermachen
> soll!
das sieht ziemlich wüst aus! der erste term stimmt.
[mm] ln(ln(x^3)) [/mm] abgeleitet ist doch [mm] \frac{1}{ln(x^3)}*\frac{1}{x^3}*3*x^2
[/mm]
nun noch kürzen
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 So 15.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Hey, ich führe jetzt meine gesamt Rechnung mal komplett vor, weil ich nämlich nicht weiß, was ich da falsch gemacht haben soll:
$ [mm] f(x)=ln\left(\frac{x^3}{ln\left(\frac{x^3}{ln(x)}\right)}\right) [/mm] = ... = [mm] ln(x^3)-ln(ln(x^3)-ln(ln(x))) [/mm] $
$ f'(x) = [mm] \frac{1}{x^3} \cdot 3x^2 [/mm] - [mm] \frac{1}{ln(x^3)-ln(ln(x))} \left( \frac{1}{x^3} \cdot 3x^2 - \frac{1}{ln(x)} \cdot \frac{1}{x} \right) [/mm] = [mm] \frac{3}{x} [/mm] - [mm] \frac{1}{ln(x^3)-ln(ln(x))} \left( \frac{3}{x} - \frac{1}{x \cdot ln(x)} \right) [/mm] = ... $
Ab jetzt weiß ich nicht mehr weiter...
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> Hey, ich führe jetzt meine gesamt Rechnung mal komplett
> vor, weil ich nämlich nicht weiß, was ich da falsch
> gemacht haben soll:
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> [mm]f(x)=ln\left(\frac{x^3}{ln\left(\frac{x^3}{ln(x)}\right)}\right) = ... = ln(x^3)-ln(ln(x^3)-ln(ln(x)))[/mm]
>
> [mm]f'(x) = \frac{1}{x^3} \cdot 3x^2 - \frac{1}{ln(x^3)-ln(ln(x))} \left( \frac{1}{x^3} \cdot 3x^2 - \frac{1}{ln(x)} \cdot \frac{1}{x} \right) = \frac{3}{x} - \frac{1}{ln(x^3)-ln(ln(x))} \left( \frac{3}{x} - \frac{1}{x \cdot ln(x)} \right) = ...[/mm]
>
> Ab jetzt weiß ich nicht mehr weiter...
lies doch einfach mal was ich zuletzt geschrieben habe...
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 So 15.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich hab doch hier nirgends ein $ [mm] ln(ln(x^3)) [/mm] $ !
Ich weiß echt nicht was du meinst!
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> Ich hab doch hier nirgends ein [mm]ln(ln(x^3))[/mm] !
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> Ich weiß echt nicht was du meinst!
du schriebst oben
$ [mm] f(x)=ln\left(\frac{x^3}{ln\left(\frac{x^3}{ln(x)}\right)}\right) [/mm] = ... = [mm] ln(x^3)-\red{ln(ln(x^3)}-ln(ln(x))) [/mm] $
und wenn mein augenlicht mich nicht trügt, steht dort der oben erwähnte term. diesen und den folgenden nochmal neu ableiten, da du es vorher falsch gemacht hast. in meinem vorletzten post habe ich ja bereits geschrieben, wie der rote term korrekt abgeleitet wird
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 So 15.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Betrachte mal bitte genau, wie dort geklammert wurde! Dann fällt nämlich auf, dass sich der äußerste $ln()$ auf [mm] $ln(x^3) [/mm] - ln(ln(x))$ bezieht!
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> Betrachte mal bitte genau, wie dort geklammert wurde! Dann
> fällt nämlich auf, dass sich der äußerste [mm]ln()[/mm] auf
> [mm]ln(x^3) - ln(ln(x))[/mm] bezieht!
oha, dann trog mich mein augenlicht ja doch, sorry!
dein ergebnis weiter oben ist somit korrekt.
wie kommst du darauf, dass es das nicht sei?
du kannst die logarithmen im nenner wieder zu einem zusammenführen und dann kürzen
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 So 15.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Nach weiterer relativ langer Umformung komm ich jetzt auf das hier:
$f'(x) = ... = [mm] \frac{3ln(x)-(3ln(x)-1)(3ln(x)-ln(ln(x)))}{x\cdot ln(x)}$
[/mm]
Könntest du vielleicht überprüfen ob das soweit richtig ist?
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> Nach weiterer relativ langer Umformung komm ich jetzt auf
> das hier:
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> [mm]f'(x) = ... = \frac{3ln(x)-(3ln(x)-1)(3ln(x)-ln(ln(x)))}{x\cdot ln(x)}[/mm]
>
> Könntest du vielleicht überprüfen ob das soweit richtig
> ist?
mhh, da sind zuwenige faktoren im nenner
ich komme auf
[mm] \[\frac{3\,\mathrm{ln}\left( x\right) \,\mathrm{ln}\left( \frac{{x}^{3}}{\mathrm{ln}\left( x\right) }\right) -3\,\mathrm{ln}\left( x\right) +1}{x\,\mathrm{ln}\left( x\right) \,\mathrm{ln}\left( \frac{{x}^{3}}{\mathrm{ln}\left( x\right) }\right) }\]
[/mm]
gruß tee
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