Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich kann folgende Ableitung nicht ganz nachvollziehen, daher wäre ich wirklich dankbar, wenn mir jmd helfen könnte ..
g (x, y, z) = (xy)^xz
es sollten die partiellen ableitungen gemacht werden:
g x (x,y,z)= [mm] (x^x)^z [/mm] * [mm] (y^z)^x
[/mm]
bei dieser umformung versteh ich schon nicht wieso man das so aufschreiben darf, denn bei der multiplikation addieren sich die exponenten doch, so dass
hieraus : g x (x,y,z)= [mm] (x^x)^z [/mm] * [mm] (y^z)^x [/mm]
-> xy^xz+zx (rückformung) folgen würde oder nicht ?
so dann versteh ich auch die ableitungen nicht:
g x (x,y,z): z [mm] (x^x)^z-1* x^x [/mm] (ln x +1) * [mm] (y^z) [/mm] +
[mm] (x^x)^z [/mm] * [mm] (y^z)^x [/mm] ln [mm] (y^z) [/mm] = z (ln(x)+1 +ln (y))* (xy)^xz
also bei dem ersten teil der partiellen ableitung nach x versteh ich zwar
wie man auf z [mm] (x^x)^z-1 [/mm] kommt und denke mir mal, dass [mm] x^x [/mm] (ln x +1) die innere ableitung sein soll .. aber ich versteh nicht wie man drauf [mm] kommt...*(y^z) [/mm] versteh ich wieder ( muss ja aufgrund der produktregel) folgen...
so bei der zweiten hälfte versteh ich dann wieder den zweiten teil nicht..
[mm] (y^z)^x [/mm] ln [mm] (y^z) [/mm] .. wie kommt man da drauf..
ich weiß dass mir grundlagen fehlen.. aber wenn mir das jemand erklärt dann wird das auch dass weiß ich.. ich hatte das alles ja schonmal.. nur vergisst man das als mathelkler ganz schnell wieder.. weil man denkt dass man das nicht mehr braucht -.-
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Hallo Jessica2011,
> Ich kann folgende Ableitung nicht ganz nachvollziehen,
> daher wäre ich wirklich dankbar, wenn mir jmd helfen
> könnte ..
>
> g (x, y, z) = (xy)^xz
>
> es sollten die partiellen ableitungen gemacht werden:
>
> g x (x,y,z)= [mm](x^x)^z[/mm] * [mm](y^z)^x[/mm]
>
> bei dieser umformung versteh ich schon nicht wieso man das
> so aufschreiben darf, denn bei der multiplikation addieren
> sich die exponenten doch, so dass
Die Funktion g läßt sich zur Basis e so schreiben:
[mm]g\left(x,y,z\right)=(xy)^{xz}=e^{xz*\ln\left(x*y\right)}[/mm]
Formt man dies entsprechend den Logarithmengesetzen weiter um:
[mm]e^{xz*\ln\left(x*y\right)}=e^{xz*\left( \ \ln\left(x\right)+\ln\left(y\right)} \ \right)}=e^{xz* \ln\left(x\right)} *e^{xz*\ln\left(y\right)}[/mm]
[mm]=e^{z*\left( \ x* \ln\left(x\right) \ \right)} *e^{x*\left( \ z*\ln\left(y\right) \ \right)}=e^{z*\ln\left(x^{x}\right)}*e^{x*\ln\left(y^{z}\right)}=\left(x^{x}\right)^{z}*\left(y^{z}\right)^{x}[/mm]
>
> hieraus : g x (x,y,z)= [mm](x^x)^z[/mm] * [mm](y^z)^x[/mm]
>
> -> xy^xz+zx (rückformung) folgen würde oder nicht ?
>
Nein.
>
> so dann versteh ich auch die ableitungen nicht:
>
> g x (x,y,z): z [mm](x^x)^z-1* x^x[/mm] (ln x +1) * [mm](y^z)[/mm] +
> [mm](x^x)^z[/mm] * [mm](y^z)^x[/mm] ln [mm](y^z)[/mm] = z (ln(x)+1 +ln (y))* (xy)^xz
>
> also bei dem ersten teil der partiellen ableitung nach x
> versteh ich zwar
>
> wie man auf z [mm](x^x)^z-1[/mm] kommt und denke mir mal, dass [mm]x^x[/mm]
> (ln x +1) die innere ableitung sein soll .. aber ich
> versteh nicht wie man drauf [mm]kommt...*(y^z)[/mm] versteh ich
> wieder ( muss ja aufgrund der produktregel) folgen...
> so bei der zweiten hälfte versteh ich dann wieder den
> zweiten teil nicht..
> [mm](y^z)^x[/mm] ln [mm](y^z)[/mm] .. wie kommt man da drauf..
>
> ich weiß dass mir grundlagen fehlen.. aber wenn mir das
> jemand erklärt dann wird das auch dass weiß ich.. ich
> hatte das alles ja schonmal.. nur vergisst man das als
> mathelkler ganz schnell wieder.. weil man denkt dass man
> das nicht mehr braucht -.-
Schreibe doch die Funktion g, wie oben erwähnt, um:
[mm]g\left(x,y,z\right)=(xy)^{xz}=e^{xz*\ln\left(x*y\right)}[/mm]
Und das kannst Du dann differenzieren.
Gruss
MathePower
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achjaa..hmm.. bin ich bei dieser aufgabe dann richtig vorgegangen?:
(x+yz)^xy+z
= e^xy+z* ln (x+yz)
=e^xy+z* (ln (x) + ln (yz))
= e^ xy +z* ln (x) * e^xy+z* (ln (yz))
so wäre das bis dahin schonmal richtig? und wie könnte ich bei der umformung weiter vorgehen.. ich komme irgendwie nicht weiter...
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Hallo Jessica2011,
> achjaa..hmm.. bin ich bei dieser aufgabe dann richtig
> vorgegangen?:
>
> (x+yz)^xy+z
>
> = e^xy+z* ln (x+yz)
Schreibe längere Exponenten in geschweifte Klammern:
e^{(x+yz)*ln(x+yz)}
>
> =e^xy+z* (ln (x) + ln (yz))
Der Logarithmus einer Summe ist nicht
gleich der Summe der Logarithmen der Summanden.
[mm]\ln\left(x+yz\right) \not = \ln\left(x\right)+\ln\left(yz\right)[/mm]
>
> = e^ xy +z* ln (x) * e^xy+z* (ln (yz))
>
>
> so wäre das bis dahin schonmal richtig? und wie könnte
Das ist leider nicht richtig.
> ich bei der umformung weiter vorgehen.. ich komme irgendwie
> nicht weiter...
Gruss
MathePower
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hmm wie muss ich dann vorgehen :/
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Hallo Jessica2011,
> hmm wie muss ich dann vorgehen :/
Zum Beispiel so:
[mm](x+yz)^{xy+z} = e^{\left(xy+z\right)* \ln\left(x+yz\right)}=e^{xy* \ln\left(x+yz\right)+z* \ln\left(x+yz\right)}=e^{xy* \ln\left(x+yz\right)}*e^{z* \ln\left(x+yz\right)}[/mm]
Gruss
MathePower
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okay ich hab mal weitergearbeitet bzw es versucht:
[mm] e^y* [/mm] ln [mm] (x^x)+ [/mm] x* ln [mm] (y^y)* [/mm] z * e^ ln [mm] (x^z) [/mm] + ln [mm] (y^z) [/mm] *z
= (( [mm] x^x)^y) [/mm] + [mm] ((y^y)^x) [/mm] * z) * [mm] ((x^z) [/mm] + [mm] (y^z)*z)
[/mm]
wäre das so richtig ?
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Hallo Jessica2011,
> okay ich hab mal weitergearbeitet bzw es versucht:
>
> [mm]e^y*[/mm] ln [mm](x^x)+[/mm] x* ln [mm](y^y)*[/mm] z * e^ ln [mm](x^z)[/mm] + ln [mm](y^z)[/mm]
> *z
>
> = (( [mm]x^x)^y)[/mm] + [mm]((y^y)^x)[/mm] * z) * [mm]((x^z)[/mm] + [mm](y^z)*z)[/mm]
>
>
> wäre das so richtig ?
Führe Dir die Logarithmusgesetze zu Gemüte.
Dasselbe gilt für die Potenzgesetze.
Gruss
MathePower
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okayy versuch 2 :
e^ x* ln [mm] (x^y) [/mm] + x * ln [mm] (y^y) [/mm] *z * [mm] e^ln(x^z)+ln(yz)^z
[/mm]
= [mm] (x^y)^x+ [/mm] z * [mm] (y^y)^x [/mm] * ( [mm] x^z [/mm] + [mm] (yz)^z [/mm] )
so vllt ? :/
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> okayy versuch 2 :
>
> e^ x* ln [mm](x^y)[/mm] + x * ln [mm](y^y)[/mm] *z * [mm]e^ln(x^z)+ln(yz)^z[/mm]
>
> = [mm](x^y)^x+[/mm] z * [mm](y^y)^x[/mm] * ( [mm]x^z[/mm] + [mm](yz)^z[/mm] )
>
>
> so vllt ? :/
Hallo,
ein kleiner Rat:
für die, die keine Lust haben, den ganzen Thread durchzuarbeiten, Dir aber prinzipiell sagen könnten und würden, wie es geht,
stellst Du die Angelegenheit mal etwas genießbar dar, so daß man auf einen Blick die Aufgabenstellung sieht, Du sagst, was Du gerade planst, und mit Deiner Umformung nicht wie mit der Tür ins Haus fällst, sondern am Anfang Deiner Umformung schreibst: "...=."
Bei "..." kommt das hin, was Du gerade umzuformen gedenkst.
So müssen potentielle Helfer nicht erst Spurensuche betreiben.
Dann solltest Du Augenmerk darauf richten, daß man Klammern und Exponenten nicht raten muß, sondern daß alles so dasteht, wie Du es auch haben wolltest. Nutze die Vorschaufunktion und bearbeitete das, was noch nicht richtig ist, entsprechend.
Gruß v. Angela
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[mm] e^{xy\cdot{} \ln\left(x+yz\right)}\cdot{}e^{z\cdot{} \ln\left(x+yz\right)} [/mm] $
so da waren wir ja quasi stehengeblieben..
meine weitere umformung schaut so aus :
e^(x* ln [mm] (x^y))+ [/mm] (x * ln [mm] (y^y) [/mm] *z) * e^( [mm] ln(x^z)) [/mm] + ( ln [mm] (yz)^z)
[/mm]
= [mm] ((x^y)^x) [/mm] + (z* [mm] (y^y)^x) [/mm] * [mm] (x^z) [/mm] + [mm] (yz)^z
[/mm]
so erstmal richtig ? wenn nicht was habe ich wieder falsch gemacht :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Mo 31.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Was Du da machst ist ja grauenhaft !
1. Es ist kaum lesbar.
2. Du scheinst der Meinung zu sein, dass gilt: ln(a+b)=ln()+ln(b)
Das ist aber falsch.
FRED
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wie wär es denn richtig.. ich komm einfach nicht drauf :/ ... ich muss ja auch noch die partiellen ableitungen machden :((
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Hallo,
> wie wär es denn richtig.. ich komm einfach nicht drauf :/
> ... ich muss ja auch noch die partiellen ableitungen
> machden :((
Lasse den Ausdruck so stehen wie oben, also
[mm]g(x,y,z)=e^{xy\cdot{}\ln(x+yz)}\cdot{}e^{z\cdot{}\ln(x+yz)}[/mm]
Für die partiellen Ableitungen nutze die Produkt- und Kettenregel ...
Gruß
schachuzipus
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okay also ich hab das mal versucht.. :
g x (x,y,z) : e^(y * (x+yz)^-1) * e^( z* ln (x+yz)) +
e^(xy* ln(x+yz)) * e^((x+yz)^-1)
ich habe die kettenregel und produktregel verwendet.. .. ich hoffe endlich mal was richtiges dabei ist :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Mo 31.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwie musst du dir das mal auseinandernehmen und erstmal ein Stück nur differenzieren
du hast:
$ [mm] g(x,y,z)=e^{xy\cdot{}\ln(x+yz)}\cdot{}e^{z\cdot{}\ln(x+yz)} [/mm] $
ich nehm an die produktregel beherrschst du, also
g(x)=u(x)*v(x) mit
[mm] u(x)=e^{xy\cdot{}\ln(x+yz)} [/mm] erstmal differenzieren.
dazu die Kettenregel:
[mm] u(x)=e^{f(x)} [/mm] mit [mm] f(x)=xy\cdot{}\ln(x+yz)
[/mm]
u'=f'(x)*u
f'(x) Produktregel [mm] f'(x)=y*(ln(x+yz)+xy*\bruch{1}{x+yz}
[/mm]
damit insgesamt u'(x)=...
jetzt dasselbe mit [mm] v(x)=e^{z\cdot{}\ln(x+yz)}
[/mm]
v' berechnen und dann endlich g'=u'v+uv'
Schreib so deutlich wie ich das vorgemacht hab auf, was du tust, bis du darin fit bist musst dus so schön langsam machen. erst wenn man das oft so brav auseinandergenommen hat kann man es auch ohne jedesmal u,v,f einzeln aufzuschreiben und zu differenzieren.
ausserdem können wir nur so sehen, wo du Fehler machst.
einfach ein falsches endergebnis sagt uns wenig.
gruss leduart
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oki also :
[mm] u´=y\cdot{}(ln(x+yz)+xy\cdot{}\bruch{1}{x+yz} [/mm] * [mm] e^{xy\cdot{}\ln(x+yz)} [/mm]
v(x)= [mm] e^{z\cdot{}\ln(x+yz)}
[/mm]
Kettenregel:
v(x)= e^(f(x)) f(x)=z* ln (x+yz)
v´(x) = f´(x)*v
f´(x) produktregel:
f´(x) = ln (x+ yz) + z * (1 / (x+yz))
v´(x)= ln (x+ yz) + z * (1 / (x+yz)) * ( [mm] e^{z\cdot{}\ln(x+yz)} [/mm] )
g´= u´v + uv´
= [mm] (y\cdot{}(ln(x+yz)+xy\cdot{}\bruch{1}{x+yz} [/mm] * [mm] e^{xy\cdot{}\ln(x+yz)}) [/mm] * ( [mm] e^{z\cdot{}\ln(x+yz)} [/mm] ) + ( [mm] e^{xy\cdot{}\ln(x+yz)}) [/mm] * ( ln (x+ yz) + z * (1 / (x+yz)) * ( [mm] e^{z\cdot{}\ln(x+yz)} [/mm] )
ich hoffe doch sehr dass es jetzt richtig ist... wäre dass dann die ableitung nach x ? kann ich noch weiter vereinfachen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Mo 31.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> oki also :
>
> [mm]u´=y\cdot{}(ln(x+yz)+xy\cdot{}\bruch{1}{x+yz}[/mm] *
> [mm]e^{xy\cdot{}\ln(x+yz)}[/mm]
das ist u' nicht u und du hast die klammer weggelassen. richtig ist
[mm] $u'(x)=(y\cdot{}(ln(x+yz)+xy\cdot{}\bruch{1}{x+yz}) [/mm] *
[mm] e^{xy\cdot{}\ln(x+yz)}$
[/mm]
> v(x)= [mm]e^{z\cdot{}\ln(x+yz)}[/mm]
>
> Kettenregel:
>
> v(x)= e^(f(x)) f(x)=z* ln (x+yz)
>
> v´(x) = f´(x)*v
>
> f´(x) produktregel:
hier unnötig, da z nur ein faktor ist z'=0!
> f´(x) = ln (x+ yz) + z * (1 / (x+yz))
falsch
f'=1 / (x+yz)
>
> v´(x)= ln (x+ yz) + z * (1 / (x+yz)) * (
> [mm]e^{z\cdot{}\ln(x+yz)}[/mm] )
>
> g´= u´v + uv´
>
> = [mm](y\cdot{}(ln(x+yz)+xy\cdot{}\bruch{1}{x+yz}[/mm] *
> [mm]e^{xy\cdot{}\ln(x+yz)})[/mm] * ( [mm]e^{z\cdot{}\ln(x+yz)}[/mm] ) + (
> [mm]e^{xy\cdot{}\ln(x+yz)})[/mm] * ( ln (x+ yz) + z * (1 / (x+yz)) *
> ( [mm]e^{z\cdot{}\ln(x+yz)}[/mm] )
leider noch nicht. 1. besser mit Klammern umgehen, 2 tens wenn du nach x abl, sind y,z wie konstanten zu behandeln.
Gruss leduart
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:(((
v´(x) = 1/ (x+yz) * [mm] (e^{z\cdot{}\ln(x+yz)} [/mm] )
so ? :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Mo 31.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein
(a*ln(x))'=a/x
Gruss leduart
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ich fasse es nicht, wie blöd kann ich nur sein -.-
ich werde aber nicht aufgeben bis ich das endlich hab !
also dann müsste:
v(x)= [mm] e^{z\cdot{}\ln(x+yz)} [/mm]
v´(x)= ( z/ x+ yz ) * ( [mm] e^{z\cdot{}\ln(x+yz)} [/mm] )
so müsste das jetzt aber stimmen ..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Mo 31.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
v'(x) jetzt richtig
Gruss leduart
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hmm dann wäre
g x (x,y,z) = u´v + uv´
g x (x,y,z)=
[mm] ((y\cdot{}(ln(x+yz)+xy\cdot{}\bruch{1}{x+yz}) [/mm] * [mm] (e^{xy\cdot{}\ln(x+yz)}))
[/mm]
* ( [mm] e^{z\cdot{}\ln(x+yz)} [/mm] ) + [mm] ((e^{xy\cdot{}\ln(x+yz)}) [/mm] * (( z/ x+ yz ) *
[mm] e^{z\cdot{}\ln(x+yz)}))
[/mm]
ich habe noch eine weitere frage in der aufgabenstellung stand dass man die partiellen ableitungen in allen punkten (x,y,z) [mm] \in [/mm] (0 [mm] ,\infty)^3 [/mm] angeben sollte.. wie muss ich da vorgehen ? :/
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ich will ja wirklich nicht nerven.. aber ohne eure hilfe werde ich das nicht verstehen :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 Di 01.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh dir doch die ableitungen mal na. gibt es Punkte in dem def. gebiet, wo die nicht existiert oder nicht definiert ist (Nenner =0 z. Bsp?
gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Mo 31.01.2011 | | Autor: | rolf7 |
hallo Jessica2011,
das hier [mm] g\left(x,y,z \right)=\left( x*y \right) ^\left( x*z \right) [/mm] ist deine Aufgabe, ok?
Und du sollst die partiellen Ableitungen [mm] g_{x}, g_{y} [/mm] und [mm] g_{z} [/mm] bilden?
Ist das soweit richtig?
Und was ist dann dein [mm] gx\left(x,y,z \right)= \left( x^x \right) ^\left( z \right) [/mm] * [mm] \left( y^z \right) ^\left( x \right) [/mm] ?
Beides ist doch das gleiche! Sieh mal...
[mm] \left( x^x \right) ^\left( z \right) [/mm] * [mm] \left( y^z \right) ^\left( x \right) [/mm] = [mm] \left( x \right) ^\left( x*z \right) [/mm] * [mm] \left( y \right) ^\left( x*z \right) [/mm] = [mm] \left( x*y \right) ^\left( x*z \right) [/mm]
Um die partiellen Ableitungen zu berechnen, kannst du gleich von deiner o. g. Funftion [mm] g\left(x,y,z \right)=\left( x*y \right) ^\left( x*z \right) [/mm] loslegen, und zwar nach diesem Muster (als Beispiel eine ähnliche Funkt.):
[mm] y=x^x \Rightarrow ln\left( y \right)= x*ln\left( x \right) [/mm]
[mm] \bruch{1}{y}*y'= 1*ln\left( x \right)+x*\bruch{1}{x}
[/mm]
y'= [mm] x^{x}*\left( 1+ln\left( x \right) \right) [/mm]
...also logarithmisch, Produkt- und Kettenregel und die anderen variablen jeweils als konstante behandeln.
rolf7
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