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| Aufgabe | Differenzieren sie folgende Funktion einmal und fassen sie so weit wie möglich zusammen.
y = ( sin ( a x ) )² * x² |
Moin Zusammen,
ich habe ein Problem mit obriger Aufgabe.
Bei der Produktregel würden sich mehr als 3, also 4 Faktoren ergeben.
Um die Funktion abzuleiten, muss ich die Kettenregel oder Produktregel anwenden?
Danke schonmal im voraus!
MfG Hanne
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Moin Hannelore,
> Differenzieren sie folgende Funktion einmal und fassen sie
> so weit wie möglich zusammen.
>
> y = ( sin ( a x ) )² * x²
Das ist ja ne fiese Funktion
> Moin Zusammen,
>
> ich habe ein Problem mit obriger Aufgabe.
>
> Bei der Produktregel würden sich mehr als 3, also 4
> Faktoren ergeben.
> Um die Funktion abzuleiten, muss ich die Kettenregel oder
> Produktregel anwenden?
Ich fürchte beides, die Funktion hat ja die Gestalt [mm] $y=f(x)\cdot{}g(x)$, [/mm] wobei [mm] $f(x)=(\sin(ax))^2$ [/mm] und [mm] $g(x)=x^2$ [/mm]
Dh. das Grundgerüst für die Ableitung ist die Produktregel, also [mm] $y'=f'(x)\cdot{}g(x)+f(x)\cdot{}g'(x)$
[/mm]
Diese Teilableitungen musst du bilden, die von g ist ja puppi.
Die von f musst du mit der Kettenregel machen.
Da bleibt dir aber auch nix erspart 
Geh's mal an!
>
> Danke schonmal im voraus!
>
> MfG Hanne
LG
schachuzipus
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Danke schachuzipus!
Hallo Zusammen,
ich habe nun den ersten Teil der Funktion mit der Produktregel abgeleitet und nun einfach x² ableiten (2x) und mit dem anderen Teil der Gleichung multiplizieren?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Danke schonmal im voraus!
MfG Hannelore
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:23 Fr 30.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Susanne (Sorry ) Hannelore,
> Danke schachuzipus!
>
> Hallo Zusammen,
>
> ich habe nun den ersten Teil der Funktion mit der
> Produktregel abgeleitet und nun einfach x² ableiten (2x)
> und mit dem anderen Teil der Gleichung multiplizieren?
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Danke schonmal im voraus!
ich versteh' gerade nicht, was Du Dir da für 'ne Formel zusammengebastelt hast. Machen wir es mal Schritt für Schritt:
Du hattest [mm] $y(x)=x^2*\sin^2(ax)$.
[/mm]
1. Schritt (vgl. Schachuzipus):
Du definierst meinetwegen [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] und [mm] $f(x):=\sin^2(ax)$ [/mm] (das ist übrigens nur eine andere, gängige Schreibweise für [mm] $(\sin(ax))^2$).
[/mm]
Dann erhälst Du mit der Produktregel:
[mm] $$(\star_1)\;\;\;y\!\,'(x)=g'(x)*f(x)+f'(x)*g(x)\,.$$
[/mm]
In [mm] $(\star_1)$ [/mm] ist nur $f'(x)$ etwas ungünstig, denn es ist [mm] $f(x)=\sin^2(ax)\,.$ [/mm] Das ist eine Verknüpfung von Funktionen, und zwar gilt:
[mm] $\sin^2(ax)=p(q(x))\,,$ [/mm] wobei [mm] $p(q):=q^2$ [/mm] und [mm] $q(x):=\sin(a*x)\,.$
[/mm]
Also gilt nach der Kettenregel:
[mm] $$(\star_2)\;\;\;f'(x)=\blue{p'(q(x))}*{q'(x)}=\blue{2*\sin(ax)}*q'(x).$$
[/mm]
Auch mit [mm] $(\star_2)$ [/mm] sind wir noch nicht fertig, denn $q'(x)$ ist noch nicht klar:
Setzt man aber [mm] $r(s):=\sin(s)$ [/mm] und [mm] $s(x):=ax\,,$ [/mm] so erkennt man wiederum
[mm] $q(x)=r(s(x))\,,$ [/mm] so dass wieder die Kettenregel uns liefert
[mm] $$q'(x):=r'(s(x))*s'(x)\,.$$
[/mm]
Und das musst Du nun alles nacheinander ausrechnen und einsetzen.
Und wenn man etwas Übung in solchen Aufgaben hat, dann macht man vll. viele solcher Schritte in Kurzform:
Setze [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] und [mm] $f(x):=\sin^2(ax)\,.$ [/mm] Dann ist $f(x)=p(q(r(x)))$ mit [mm] $p(q):=q^2\,,$ $q(r):=\sin(r)\,,$ [/mm] und [mm] $r(x):=ax\,,$ [/mm] und damit folgt aus
$$y(x)=g(x)*f(x)$$ zunächst durch Produktregel, dass
$$y'(x)=g'(x)*f(x)+f'(x)*g(x)$$
und mit $f=p [mm] \circ [/mm] q [mm] \circ [/mm] r$ dann durch zweimalige Anwendung der Kettenregel
$$y'(x)=g'(x)*f(x)+(p(q(r(x))))'*g(x)$$
[mm] $$\;\;\;=g'(x)*f(x)+p'(q(r(x)))*(q(r(x)))'*g(x)$$
[/mm]
[mm] $$\;\;\;=g'(x)*f(x)+p'(q(r(x)))*q'(r(x))*r'(x)*g(x)\,.$$
[/mm]
Also
[mm] $$y'(x)=2x*\sin^2(ax)+\underbrace{2*\sin(ax)}_{=p'(q(r(x)))}*\underbrace{\cos(ax)}_{=q'(r(x))}*\underbrace{a}_{=r'(x)}*\underbrace{x^2}_{=g(x)}\,,$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$y'(x)=2x*\sin^2(ax)+2ax^2*\sin(ax)*\cos(ax)\,.$$
[/mm]
P.S.:
Eine Bemerkung zu Deiner Rechnung oben:
Wie begründest Du die einzelnen Rechenschritte? Und noch verwirrender ist:
Du benutzt anscheinend * sowohl bei Multiplikation als auch bei Verknüpfungen von Funktionen?
Man schreibt $h=f [mm] \circ [/mm] g$, wenn $h(x)=f(g(x))$ für alle [mm] $\,x\,,$ [/mm] und die Kettenregel wird notiert als:
$(f [mm] \circ [/mm] g)'(x)=f'(g(x))*g'(x)$ oder [mm] $(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:34 Fr 30.01.2009 | | Autor: | hannelore |
Danke für deine Hilfe, Marcel!
MfG Hanne
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