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| Aufgabe | Wir betrachten die Funktion
[mm] f=u+iv: \IC \to \IC[/mm]
mit
[mm]f(z)= \left\{\begin{matrix}
z^{5}|z|^{-4}, & \mbox{wenn }z \ne 0\mbox{ gerade} \\
0, & \mbox{wenn }z=0\mbox{ ungerade}
\end{matrix}\right.[/mm]
Zeigen Sie: Die Funktion [mm] F:= (u,v): \IR^2 \to \IR^2[/mm] besitzt in [mm] (x_{0},y_{0})[/mm] partielle Ableitungen, die den Cauchey-Riemannschen Dgln genügen. |
Hi,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
zunächst wollte ich die Funktion für [mm]z \ne 0[/mm] in Polarkoordinaten aufstellen:
[mm]f(z)=z^{5}|z|^{-4}=|z|^{5}e^{5i \phi}|z|^{-4}=|z|e^{5i \phi}=|z|(cos(5 \phi) + isin(5 \phi))[/mm]
mit [mm]\phi = arctan(y/x)[/mm]
Damit ergibt sich dann also
[mm]F(x,y)=(u,v)=|z|(cos(5arctan(y/x)) , sin(5arctan(y/x)))[/mm]
Um davon jetzt die partiellen Ableitungen im Nullpunkt zu ermitteln, müsste ich doch den Differentenqoutienten sowohl für u als auch v sowohl nach x, als auch nach y berechnen, oder? der sieht aber ziemlich kompliziert aus... ist die Umformung denn soweit richtig oder sollte man das anders angehen? Wäre für Tips dankbar.
Vielen Dank und Gruß - devilsdoormat
PS.: entschuldigt, dass ich das alles nicht so 100%ig formatiert habe, aber ich hatte gerade nicht viel Zeit dafür...
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Hallo devilsdoormat,
Verwende [mm]|z|^2 = z*\overline{z}[/mm]
Dann kannst du erstmal kürzen 
Und dann berechnest du einfach
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] und [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}, [/mm] wobei z = x + iy und [mm] \overline{z} [/mm] = x - iy gilt.
MfG,
Gono.
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wenn ich das mache bekomme ich [mm]z^{3}\bar z ^{-2}[/mm]. Für die Funktion [mm]F(x,y)=(u,v)[/mm] muss ich doch aber das ganze immer noch in Real- und Imaginärteil aufspalten... und die dann ableiten. die parteillen Ableitungen von [mm] f(z) [/mm] interessieren mich ja eigentlich gar nicht...
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> wenn ich das mache bekomme ich [mm]z^{3}\bar z ^{-2}[/mm]. Für die
> Funktion [mm]F(x,y)=(u,v)[/mm] muss ich doch aber das ganze immer
> noch in Real- und Imaginärteil aufspalten... und die dann
> ableiten. die parteillen Ableitungen von [mm]f(z)[/mm] interessieren
> mich ja eigentlich gar nicht...
Kommt drauf an, ob du Cauchy-Riemann-II oder CR2 zeigen möchtest.
Für CR-I reicht es aus zu zeigen:
[mm]\bruch{\partial f}{\partial x} = -i\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm]
MfG,
Gono.
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