Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Di 10.04.2007 | | Autor: | peter_d |
| Aufgabe | [mm] $$\text{Für }k\in\mathbb{N}\text{und hinreichend oft differenzierbare Funktionen }f\text{ und }g\text{ beweise man:}$$
[/mm]
[mm] $$\partial^k(fg) [/mm] = [mm] \sum_{j=0}^k (\partial^j f)(\partial^{k-j} [/mm] g)$$ |
Hallo Leute.
Heut der erste Tag und es geht glech in die vollen :)
Mit vollständiger Induktion komm ich nich weiter ... :(
Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Danke und Gruß
Peter
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Hast du uns da nicht einen Binominalkoeffizienten hinter dem Summenzeichen verschwiegen?
Also, das ganze funktioniert mit Induktion folgendermaßen:
$\partial^n=\summe_{j=0}^k \vektor{k \\j} \partial^j \partial^{k-j}$
Leiten wir ab, so kommt die Produktregel zum Einsatz:
$\partial^{n+1}=\summe_{j=0}^k \vektor{k \\j} \partial^{j+1} \partial^{k-j}+\summe_{j=0}^k\vektor{k \\j} \partial^j }\partial^{k-j+1}$
Schaun wir uns die erste Summe an: Man könnte auch mit j=1 anfangen, wenn man das im Folgenden rückgängig macht. Damit aber die Anzahl der Summanden gleich bleibt, muß j über k hinaus gehen:
[mm]\summe_{j=0}^k \vektor{k \\j} \partial^{j+1} \partial^{k-j}
=\summe_{j=1}^{k+1} \vektor{k \\j-1} \partial^{j} \partial^{k-j+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Beachte, daß die Änderung der unteren Grenze sich auf den Summanden auswirkt, die Änderung der oberen Grenze aber nicht!
Basteln wir die beiden Summen wieder zusammen:
$\summe_{j=1}^{k+1} \vektor{k \\j-1} \partial^{j} \partial^{k-j+1}+\summe_{j=0}^k\vektor{k \\j} \partial^j }\partial^{k-j+1}$
Die beiden Summen lassen sich nun wieder zusammenfassen, allerdings mußt du die Fälle j=k+1 und j=0 aus den Summen raus ziehen:
$\vektor{k \\k+1-1} \partial^{k+1} \partial^{k-(k+1)+1}+\summe_{j=1}^{k} \vektor{k \\j-1} \partial^{j} \partial^{k-j+1}+\summe_{j=1}^k\vektor{k \\j} \partial^j }\partial^{k-j+1}+\vektor{k \\0} \partial^0 }\partial^{k-0+1}$
Vereinfachen:
$\vektor{k \\k} \partial^{k+1} \partial^{0}+\summe_{j=1}^{k} \left[\vektor{k \\j-1}+\vektor{k \\j}\right] \partial^{j} \partial^{k-j+1}+\vektor{k \\0} \partial^0 }\partial^{k+1}$
Und das wars eigentlich schon.
Die eckige Klammer kannst du zu \vektor{k+1 \\j} zusammenfassen.
Danach wirst du feststellen, daß, wenn du in den Summanden in der Mitte j=0 und j=k+1 einsetzt, grade den linken und rechten Summanden herausbekommst. Das heißt, den linken und rechten Summanden kannst du einfach weg lassen, wenn du das j von 0 ... k+1 laufen läßt.
Und das willst du ja zeigen!
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