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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Mi 06.10.2004 | | Autor: | isabelle |
Hallo
Ich bin im Mathe LK kurs und wir lösen momentan sachaufgaben mit Ableitungen usw. Ich weiss das die 1. ableitung die steigung der Tangente in einem bestimmten/unbestimmten(wenn allgemein) an den Graphen ist. Wozu ist die 2. ableitung gut? Was sagt diese aus?
Ich hoffe ihr antwortet, es wäre wichtig!
Isabelle Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Mi 06.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Isabelle!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du kannst dir die zweite Ableitung als die Ableitung der des Graphen veranschaulichen, der die erste Ableitung beschreibt. Somit ist die zweite Ableitung die Tangente an den Graphen der ersten Ableitung und übertragen auf das, was du auch schon gesagt hast, gibt sie an einem bestimmten Punkt an, wie sich die erste Ableitung verändert. Ist die zweite Ableitung z.B. größer als Null, so wird der Graph der ursprünglichen Funktion steiler, ist sie kleiner als Null, so wird der Graph flacher - eine Veranschaulichung eben dafür, dass sich die Tangentensteigung am Graphen größer bzw. kleiner wird. Damit kannst du dir auch überlegen, warum man bei der Suche nach Extrempunkten prüfen muss, ob die zweite Ableitung größer oder kleiner Null ist. Denn für einen Extrempunkt, so wissen wir, muss die Tangensteigung gleich Null sein. Daher wissen aber noch nicht, ob ein Minimum, ein Maximum, oder gar ein Sattelpunkt vorliegt. Dazu nämlich müssen wir uns die zweite Ableitung in Betracht ziehen, welche uns Aufschluss darüber gibt, wie sich die Tangentensteigung im folgenden Verlauf des Graphen verändern wird: ist die zweite Ableitung größer als Null, so wird die Tangente steiler werden, d.h. ein Minimum lag vor - ist sie kleiner Null, so lag analog dazu ein Maximum vor. wichtig ist die zweite Ableitung auch bekanntlich dann, wenn wir den Graphen auf Wendepunkte untersuchen wollen. Bei einem Punkt auf dem Graphen sprechen wir genau dann von einem Wendepunkt, wenn sich der Drehsinn der Tangente ändert. Und worin macht sich der Drehsinn bemerkbar? Eben in der Veränderung der Steigung der Tangente, also eben in der zweiten Ableitung: ist diese nämlich größer als Null, so bewirkt dies eine gegen den Uhrzeigersinn gerichtete Drehung der Tangente, anderenfalls eine mit dem Uhrzeigersinn gerichtete Drehung. Und wenn wir einen Wendepunkt suchen, suchen bei genau den Punkt, an dem sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung ändert - also den Punkt an dem vorher noch die zweite Ableitung die Tangente in eine andere Richtung gedreht hat als später. Und aus der Stetigkeit der Funktion folgt, dass, wenn die zweite Ableitung vorher und nachher ein unterschiedliches Vorzeichen hat, sie zwischendurch den Nullpunkt erreicht haben muss - dies nennen wir dann Wendepunkt - dort wirkt nämlich keine "Kraft" auf die erste Ableitung, also auf die Tangente.
Hat dir das ein wenig geholfen? Wenn du Fragen hast, dann hak' einfach nach 
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Mi 06.10.2004 | | Autor: | fuenkchen |
Hanno hat eigentlich schon alles gesagt
das ganze etwas kürzer:
Die 2. Ableitung gibt die Veränderung der 1. Ableitung bzw. die Änderung der Tangentensteigung an.
f"(x) beschreibt das Krümmungsverhalten der Kurve.
ist f"(x) > 0 ist es eine linkskurve
ist f"(x) < 0 ist es eine rechtskurve
benötigt wird es zur Berechnung von Hoch- und Tiefpunkten
Bedingung für Hochpunkt:
f´(x) = 0
f" (x) < 0
Bedingung für Tiefpunkt
f´(x) = 0
f" (x) > 0
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Hallo Isabell,
vielleicht noch ein Beispiel aus der Physik
wenn $ f(t) = s$ eine Bewegung, Weg $s$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ beschreibt,
dann
ist die 1te Ableitung die Geschwindigkeit, die 2te die Beschleunigung.
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