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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Mi 04.10.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Von den stetig diffbaren Funktionen a: [mm] \IR \to \IR, [/mm] b: [mm] \IR \to \IR [/mm] und c: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] sei bekannt:
a(t) = 2t +o(t) und b(t) = 1 + 3t + o(t) für t [mm] \to [/mm] 0,
c(0,0) = 4, c(1,0) = 5, [mm] \integral_{0}^{1}{D_{2}c(x,0) dx} [/mm] = 6.
Berechne die Ableitung der Funktion f : [mm] \IR \to \IR,
[/mm]
f(t) = [mm] \integral_{a(t)}^{b(t)}{c(x,t) dx} [/mm] an der Stelle t= 0. |
Hallo,
vielleicht kann mir jemand bei der Aufgabe weiterhelfen. Ich weiß nicht genau, wie ich das Integral ableiten soll, weil ich nicht genau weiß, wo und wie ich das Nachdifferenzieren von a(t) und b(t) machen muss.
Ich hab das so gemacht, weiß aber nicht, ob das so stimmt:
[mm] \bruch{df}{dt} [/mm] = [mm] \bruch{d}{dt} \integral_{a(t)}^{b(t)}{c(x,t) dx} [/mm] = [mm] D_{1}c(x,t) \bruch{db(t)}{dt} [/mm] + [mm] D_{2}c(x,t) \bruch{db(t)}{dt} [/mm] - [mm] D_{1}c(x,t) \bruch{da(t)}{dt} [/mm] + [mm] D_{2}c(x,t) \bruch{da(t)}{dt}
[/mm]
Jetzt komm ich nicht mehr weiter, weil ich nicht weiß, welchen Wert [mm] D_{1}c(x,t) [/mm] hat.
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen.
Vielen Dank und viele Grüße,
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich komm bei der Aufgabe nicht weiter, ich versteh das mit dem Nachdifferenzieren nicht. Ich hoffe, es ist jemand so nett und hilft mir weiter.
Danke,
Moe
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Deine Rechnung stimmt so nicht. Ich denke, man muß es folgendermaßen anstellen:
Aus [mm]a(t) = 2t + o(t)[/mm] und [mm]b(t) = 1 + 3t + o(t)[/mm] für [mm]t \to 0[/mm] folgt zunächst:
[mm]a(0) = 0 \, , \ \ b(0) = 1[/mm]
Wegen
[mm]\frac{a(t) - a(0)}{t} = \frac{a(t)}{t} = \frac{a(t) - 2t}{t} + 2 \to 2[/mm] für [mm]t \to 0[/mm]
[mm]\frac{b(t) - b(0)}{t} = \frac{b(t) - 1}{t} = \frac{b(t) - 1 - 3t}{t} + 3 \to 3[/mm] für [mm]t \to 0[/mm]
gilt weiter:
[mm]a'(0) = 2 \, , \ \ b'(0) = 3[/mm]
Nun definieren wir die Hilfsfunktion
[mm]C(s,t) = \int_0^s~c(x,t)~\mathrm{d}x[/mm]
Bezeichnen wir die partiellen Ableitungen nach der ersten bzw. zweiten Koordinate durch einen Index 1 bzw. 2, so folgt
[mm]C_1(s,t) = c(s,t)[/mm] (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
[mm]C_2(s,t) = \int_0^s~c_2(x,t)~\mathrm{d}x[/mm] (Differentiation unter dem Integralzeichen)
Jetzt kann man [mm]f(t)[/mm] berechnen:
[mm]f(t) = \int_{a(t)}^{b(t)}~c(x,t)~\mathrm{d}x = C \left( b(t),t \right) - C \left( a(t),t \right)[/mm]
Und die mehrdimensionale Kettenregel führt zu:
[mm]f'(t) = C_1 \left( b(t),t \right) \cdot b'(t) + C_2 \left( b(t),t \right) \cdot 1 - C_1 \left( a(t),t \right) \cdot a'(t) - C_2 \left( a(t),t \right) \cdot 1[/mm]
[mm]f'(0) = c \left( b(0),0 \right) \cdot b'(0) + \int_0^{b(0)}~c_2(x,0)~\mathrm{d}x - c \left( a(0),0 \right) \cdot a'(0) - \int_0^{a(0)}~c_2(x,0)~\mathrm{d}x[/mm]
[mm]= c(1,0) \cdot b'(0) + \int_0^1~c_2(x,0)~\mathrm{d}x - c(0,0) \cdot a'(0)[/mm]
Jetzt die Werte einsetzen.
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