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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 Mo 31.07.2006
Autor: Bebe

Hallo, wie berechne ich die Ableitung von [mm] 1/(x^x)? [/mm] Danke für eure Antwort.
        
Bezug
Ableitung: zunächst umformen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:55 Mo 31.07.2006
Autor: Roadrunner

Hallo Bebe!


Wende hier die Eigenschaft der Umkehrfunktion für e-Funktion und Logarithmus sowie MBPotenzgesetze an, um zunächst umzuformen:

$f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{x^x} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ x^x \ \right)^{-1} [/mm] \ = \ [mm] x^{x*(-1)} [/mm] \ = \ [mm] \blue{x}^{-x} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \blue{e^{\ln(x)}} \ \right]^{-x} [/mm] \ = \ [mm] e^{\ln(x)*(-x)} [/mm] \ = \ [mm] e^{-x*\ln(x)}$ [/mm]


Nun kannst Du mit der Regel [mm] $\left( \ e^z \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] e^z$ [/mm] sowie MBKettenregel (mit MBProduktregel für die innere Ableitung) vorgehen ...


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
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Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:13 Mo 31.07.2006
Autor: Barncle

hmmm.... kann ich das nicht auch ganz gewönlich ableiten?
also einfach:

[mm] (x^{-x})' [/mm] = -x [mm] x^{-x-1} [/mm] (-1)

oder? hab auch keine ahnung was rauskommt, wenn mans auf deine art abkeitet.. :)

Bezug
                        
Bezug
Ableitung: nur für konstante Exponenten!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Mo 31.07.2006
Autor: Roadrunner

Hallo Barncle!


Die MBPotenzregel beim Ableiten [mm] $\left( \ x^n \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] n*x^{n-1}$ [/mm] gilt lediglich für konstante Exponenten, was hier eindeutig nicht erfüllt ist.


Gemäß MBKettenregel gilt hier:   $f'(x) \ = \ [mm] e^{-x*\ln(x)} [/mm] * [mm] \left[ \ -x*\ln(x) \ \right]'$ [/mm]

Die Ableitung der eckigen Klammer (= innere Ableitung) ist nun mit der MBProduktregel zu bestimmen.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
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