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| Aufgabe | | Es soll x^sin(x) abgeleitet werden. |
Hallo, wie oben erwähnt soll folgende Funktion abgeleitet werden:
[mm] f(x)=x^{sin(x)}
[/mm]
Jetzt steht in meinem Skript zu solchen Ableitungen [mm] x^{x} [/mm] abgeleitet ergibt
ln(x+1)* [mm] x^{x}
[/mm]
So wäre bei mir folglich die Ableitung der Funktion mit Kettenregel:
[mm] cos(x)*(ln(x+1)*x^{sin(x)})
[/mm]
Für mich persönlich sieht das sehr falsch aus. Kann mir jemand einen Ansatz liefern?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 Fr 23.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es soll x^sin(x) abgeleitet werden.
> Hallo, wie oben erwähnt soll folgende Funktion abgeleitet
> werden:
> [mm]f(x)=x^{sin(x)}[/mm]
>
> Jetzt steht in meinem Skript zu solchen Ableitungen [mm]x^{x}[/mm]
> abgeleitet ergibt
> ln(x+1)* [mm]x^{x}[/mm]
Da hast Du falsch abgeschrieben !
Richtig lautet das: [mm] (\ln x+1)*x^x,
[/mm]
denn [mm] x^x=e^{x*\ln x}
[/mm]
>
> So wäre bei mir folglich die Ableitung der Funktion mit
> Kettenregel:
>
> [mm]cos(x)*(ln(x+1)*x^{sin(x)})[/mm]
>
> Für mich persönlich sieht das sehr falsch aus.
Da kann ich Dir nur zustimmen !
> Kann mir
> jemand einen Ansatz liefern?
Es ist [mm] x^{\sin x}=e^{\sin x* \ln x}
[/mm]
FRED
>
> Grüße
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Und wie hilft mir diese Ableitungsregel (ln(x) + [mm] 1)*x^{x} [/mm] dabei
auf die Form [mm] e^{sin(x)*ln(x)} [/mm] zu kommen, die ich anscheinend brauche?
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Hallo,
> Und wie hilft mir diese Ableitungsregel (ln(x) + [mm]1)*x^{x}[/mm]
> dabei
> auf die Form [mm]e^{sin(x)*ln(x)}[/mm] zu kommen, die ich
> anscheinend brauche?
Da hast du einiges nicht richtig verstanden. Die Ableitung der Funktion f mit
[mm] f(x)=x^x
[/mm]
bekommt man wie folgt nach Umformung durch ein ![[]](/images/popup.gif) Logarithmengesetz durch die Anwendung der Ketten- sowie der Produktregel:
[mm] f(x)=x^x=e^{x*ln(x)}
[/mm]
Dabei ist der Term x*ln(x) die innere Funktion einer Verkettung. Mit der Produktregel bekommt man
(x*ln(x))'=ln(x)+1
und mit Hilfe der Kettenregel somit
[mm] f'(x)=(x*ln(x))'*e^{x*ln(x)}=(ln(x)+1)*x^x
[/mm]
Du hast also vergessen, in deinem Skript nachzulesen, wie man auf diese Ableitung kommt. Insbesondere ist das eben keine Ableitungsregel.
Wende jetzt die oben gezeigte Vorgehensweise auf deine Funktion an, so wie FRED ja schon geraten hat.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Fr 23.05.2014 | | Autor: | Haloelite |
Danke für die Erläuterung, die leider in meinem Skript FEHLT. =)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 Fr 23.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Erläuterung, die leider in meinem Skript
> FEHLT. =)
Wie wurde denn in Deinem Skript die allgemeine Potenz [mm] a^b [/mm] definiert ? (für a,b [mm] \in \IR [/mm] und b>0).
Doch wohl so:
[mm] a^b=e^{b* \ln a}
[/mm]
FRED
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Also als Lösung der Ableitung habe ich zumindest raus:
f(x) = [mm] e^{sin(x)*ln(x)}
[/mm]
[mm] u=e^{k} [/mm] (mit k=sin(x)*ln(x))
v=sin(x)*ln(x)
[mm] u'=e^{sin(x)*ln(x)}
[/mm]
[mm] v'=cos(x)*ln(x)+sin(x)*\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] f'(x)=x^{sin(x)}*(cos(x)*ln(x)+\bruch{sin(x)}{x})
[/mm]
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Hallo,
> Also als Lösung der Ableitung habe ich zumindest raus:
> f(x) = [mm]e^{sin(x)*ln(x)}[/mm]
>
> [mm]u=e^{k}[/mm] (mit k=sin(x)*ln(x))
> v=sin(x)*ln(x)
>
> [mm]u'=e^{sin(x)*ln(x)}[/mm]
> [mm]v'=cos(x)*ln(x)+sin(x)*\bruch{1}{x}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=x^{sin(x)}*(cos(x)*ln(x)+\bruch{sin(x)}{x})[/mm]
Ja, das ist jetzt richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Fr 23.05.2014 | | Autor: | Haloelite |
Danke sehr.
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