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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Do 20.09.2012 | | Autor: | Tony1234 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^x-1}{sin(x)-x} [/mm] |
Hallo, wäre nett, wenn jemand das kurz auf Richtigkeit prüfen könnte.
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^x-1}{sin(x)-x}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^(0)-1}{sin(0)-0}
[/mm]
L'Hospital
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^x*ln(1)}{cos(x)-1}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^(0)*ln(1)}{cos(0)-1}
[/mm]
L'Hospital
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^x*ln(1)+1^x*0}{-sin(x)}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^(0)*ln(1)+1^(0)*0}{-sin(0)}
[/mm]
L'Hospital
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^x*ln(1)+1^x*0}{-sin(x)}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^x*ln(1)+1^x*0*1^x*ln(1)}{-cos(x)}
[/mm]
für x=0
[mm] \bruch{0}{-1}
[/mm]
Grenzwert=0
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Hallo Tony,
> Bestimmen Sie folgenden Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^x-1}{sin(x)-x}[/mm]
> Hallo,
> wäre nett, wenn jemand das kurz auf Richtigkeit prüfen
> könnte.
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^x-1}{sin(x)-x}[/mm]
[mm] 1^x [/mm] kannst Du bedenkenlos sofort durch 1 ersetzen. Der Zähler ist also Null. Der Nenner allerdings auch, deswegen bleibt der Rest der Rechnung trotzdem interessant:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^(0)-1}{sin(0)-0}[/mm]
Nein, das kannst Du so nicht schreiben.
Aber in der Tat geht der Nenner auch gegen Null.
> L'Hospital
...ist darum der richtige Schritt.
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^x*ln(1)}{cos(x)-1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] \ln{(1)}=0
[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^(0)*ln(1)}{cos(0)-1}[/mm]
Das kannst Du wieder nicht so schreiben.
Aber auch geht der Nenner gegen Null, der Zähler ist es schon.
> L'Hospital
...ist wieder richtig.
Aber vorher solltest Du spätestens hier den Zähler explizit als 0 darstellen. Hier ist keine Funktion von x mehr abzuleiten, bzw. nur die Funktion f(x)=0
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^x*ln(1)+1^x*0}{-sin(x)}[/mm]
Nenner ist richtig.
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^(0)*ln(1)+1^(0)*0}{-sin(0)}[/mm]
Darfst Du wieder nicht. Überlegen kannst Du es Dir so, aber hinschreiben ist schlicht falsch.
> L'Hospital
Ja...
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^x*ln(1)+1^x*0}{-sin(x)}[/mm]
Nein, hier muss es doch im Nenner [mm] -\cos{x} [/mm] heißen!
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^x*ln(1)+1^x*0*1^x*ln(1)}{-cos(x)}[/mm]
>
> für x=0
...darf man jetzt endlich einsetzen.
> [mm]\bruch{0}{-1}[/mm]
>
> Grenzwert=0
So ist es.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Do 20.09.2012 | | Autor: | Tony1234 |
Danke reverend für die ausführliche Antwort!
Das mit der Ableitung von -sin(x) zu -cos(x) war ein copy/paste fehler :)
Wieso kann ich es nicht so schreiben? gehört der Limes nciht davor oder soll ich nicht überall 0 für x einsetzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke reverend für die ausführliche Antwort!
>
> Das mit der Ableitung von -sin(x) zu -cos(x) war ein
> copy/paste fehler :)
>
> Wieso kann ich es nicht so schreiben? gehört der Limes
> nciht davor oder soll ich nicht überall 0 für x
> einsetzen?
was habt ihr hier eigentlich (ewig) diskutiert? Es war doch
$$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^x-1}{sin(x)-x} [/mm] $$
zu berechnen. Das ist nichts anderes als
$$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1-1}{sin(x)-x}=\lim_{x \to 0} \frac{0}{\sin(x)-x}=\lim_{x \to 0}0\,,$$
[/mm]
ein sehr uninteressanter Grenzwert: da kommt [mm] $=0\,$ [/mm] raus. Da braucht's weder de l'Hospital noch sonst irgendwelcher riesigen Überlegungen.
Ich meine, ich kann auch
[mm] $$\lim_{x \to 0}\frac{x}{x}$$
[/mm]
mit de l'Hospital berechnen - ich kann aber auch direkt
[mm] $$=\lim_{x \to 0}1=1$$
[/mm]
hinschreiben, und aufhören, die armen Spatzen mit Kanonen zu beschießen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Tony1234 |
> Hallo,
>
> > Danke reverend für die ausführliche Antwort!
> >
> > Das mit der Ableitung von -sin(x) zu -cos(x) war ein
> > copy/paste fehler :)
> >
> > Wieso kann ich es nicht so schreiben? gehört der Limes
> > nciht davor oder soll ich nicht überall 0 für x
> > einsetzen?
>
> was habt ihr hier eigentlich (ewig) diskutiert? Es war
> doch
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^x-1}{sin(x)-x}[/mm]
> zu
> berechnen. Das ist nichts anderes als
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1-1}{sin(x)-x}=\lim_{x \to 0} \frac{0}{\sin(x)-x}=\lim_{x \to 0}0\,,[/mm]
>
Huch... das sieht natürlich besser aus! ich dachte, wenn ich 0/0 Rausbekomme, muss ich l'hospital anwenden... das ist ja der Fall, wenn ich die 0 in Nenner & Zähler einsetze.
> ein sehr uninteressanter Grenzwert: da kommt [mm]=0\,[/mm] raus. Da
> braucht's weder de l'Hospital noch sonst irgendwelcher
> riesigen Überlegungen.
> Ich meine, ich kann auch
> [mm]\lim_{x \to 0}\frac{x}{x}[/mm]
> mit de l'Hospital berechnen -
> ich kann aber auch direkt
> [mm]=\lim_{x \to 0}1=1[/mm]
> hinschreiben, und aufhören, die armen
> Spatzen mit Kanonen zu beschießen!
>
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Danke reverend für die ausführliche Antwort!
> > >
> > > Das mit der Ableitung von -sin(x) zu -cos(x) war ein
> > > copy/paste fehler :)
> > >
> > > Wieso kann ich es nicht so schreiben? gehört der Limes
> > > nciht davor oder soll ich nicht überall 0 für x
> > > einsetzen?
> >
> > was habt ihr hier eigentlich (ewig) diskutiert? Es war
> > doch
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^x-1}{sin(x)-x}[/mm]
> > zu
> > berechnen. Das ist nichts anderes als
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1-1}{sin(x)-x}=\lim_{x \to 0} \frac{0}{\sin(x)-x}=\lim_{x \to 0}0\,,[/mm]
>
> >
>
> Huch... das sieht natürlich besser aus! ich dachte, wenn
> ich 0/0 Rausbekomme, muss ich l'hospital anwenden... das
> ist ja der Fall, wenn ich die 0 in Nenner & Zähler
> einsetze.
na, erstmal "müssen" gibt's da nicht: Zum einen kann auch de l'Hospital
versagen (schau' mal genau nach - da steht etwas davon, dass man etwa
[mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)/g(x)$ [/mm] mit [mm] $\lim_{x \to x_0}f'(x)/g'(x)$ [/mm] gleichsetzen
kann, wenn LETZTSTEHENDER Grenzwert existiert!! Typischerweise wird
das OFT übersehen, dass da eine Existenzbedingung mit drinsteht!).
Zum anderen musst Du Dich natürlich fragen, wann es denn überhaupt
interessant ist, mit de l'Hospital zum Ziel zu kommen:
Wenn man weiß, dass $f(x)$ in einem kleinen nichteinpunktigem Intervall
um [mm] $x_0$ [/mm] eh konstant $0$ ist, wird sowas uninteressant.
Problematisch wird's auch, wenn [mm] $x_0$ [/mm] ein Häufungspunkt der
Nullstellenmenge von [mm] $g\,$ [/mm] ist. (Denn wie war das nochmal mit dem
"durch Null teilen"?)
Interessant wird's also, wenn [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)=\lim_{x \to x_0}g(x)=0$ [/mm] gilt, [mm] $g\,$ [/mm] in einer kleinen punktierten Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm]
keine Nullstellen hat, und [mm] $f\,$ [/mm] auch in einer kleinen punktierten Umgebung
von [mm] $x_0$ [/mm] Nullstellenfrei ist. Häufen sich die Nullstellen von [mm] $f\,$ [/mm] bei [mm] $x_0,$
[/mm]
so kann man sich ebenfalls überlegen, was dann, wenn denn [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)/g(x)$ [/mm] existiert, nur sein kann!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Danke reverend für die ausführliche Antwort!
> > >
> > > Das mit der Ableitung von -sin(x) zu -cos(x) war ein
> > > copy/paste fehler :)
> > >
> > > Wieso kann ich es nicht so schreiben? gehört der Limes
> > > nciht davor oder soll ich nicht überall 0 für x
> > > einsetzen?
> >
> > was habt ihr hier eigentlich (ewig) diskutiert? Es war
> > doch
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^x-1}{sin(x)-x}[/mm]
> > zu
> > berechnen. Das ist nichts anderes als
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1-1}{sin(x)-x}=\lim_{x \to 0} \frac{0}{\sin(x)-x}=\lim_{x \to 0}0\,,[/mm]
>
> >
>
> Huch... das sieht natürlich besser aus! ich dachte, wenn
> ich 0/0 Rausbekomme, muss ich l'hospital anwenden... das
> ist ja der Fall, wenn ich die 0 in Nenner & Zähler
> einsetze.
übrigens mal ein weiterer Hinweis - denn das passiert auch schneller, als
man denkt:
Nehmen wir an, Du hättest
[mm] $$\lim_{x \to 1}\frac{2-x}{1-x}$$
[/mm]
zu berechnen gehabt - insbesondere also die Frage nach der Existenz
dieses Grenzwertes wäre zu klären gewesen.
Viele gucken und sagen "Ah, Nenner strebt ja gegen [mm] $0\,$ [/mm] - wenden wir
de l'Hospital an" und erhalten
[mm] $$=\lim_{x \to 1}-1/-1=1\,.$$
[/mm]
Ist natürlich falsch. Warum darf man das nicht? Nun: Der Zähler strebt halt
nicht gegen [mm] $0\,$ [/mm] bei $x [mm] \to 1\,.$
[/mm]
Übrigens wäre hier klar, dass der gefragte Grenzwert nicht (in [mm] $\IR$) [/mm]
existiert. Warum?
P.S.
Was andererseits mal interessant ist, ist zu schreiben:
[mm] $$x+1=\frac{x^2-1}{x-1}\,.$$
[/mm]
Für welche [mm] $x\,$ [/mm] geht das nur? Wie kann man damit ein wenig
die [mm] $l\,$'Hospitalsche [/mm] Regel prüfen? (Quasi ein minimaler Test!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:15 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Tony,
>
> > Bestimmen Sie folgenden Grenzwert:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^x-1}{sin(x)-x}[/mm]
> > Hallo,
> > wäre nett, wenn jemand das kurz auf Richtigkeit prüfen
> > könnte.
> >
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1^x-1}{sin(x)-x}[/mm]
>
> [mm]1^x[/mm] kannst Du bedenkenlos sofort durch 1 ersetzen. Der
> Zähler ist also Null. Der Nenner allerdings auch, deswegen
> bleibt der Rest der Rechnung trotzdem interessant:
bitte?? [mm] $\sin(x)=x$ [/mm] gilt selbst für sehr kleine $|x| > 0$ NIEMALS - außerdem
ist [mm] $\lim_{x \to 0} \frac{0}{0}$ [/mm] genauso undefiniert wie [mm] $\frac{0}{0}\,.$
[/mm]
Dass man [mm] $\lim_{x \to 0} \frac{1^x-1}{\sin(x)-x}$ [/mm] so hinschreiben und
berechnen darf, liegt daran, dass in einer (genügend kleinen) punktierten
Umgebung der Null eben der Nenner niemals Null wird. Und auf dieser
punktierten Umgebung gilt insbesondere [mm] $\frac{1^x-1}{\sin(x)-x}=\frac{1-1}{\sin(x)-x}=0/\text{(irgendwas, was niemals Null wird)}=0\,.$
[/mm]
Ich hab' echt keine Ahnung, was ihr da mit de l'Hospital wollt...
Denkt nochmal drüber nach, was da eigentlich steht: Schlussendlich
soll man [mm] $\lim_{x \to 0}0$ [/mm] berechnen... spannend??
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 00:19 Fr 21.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
Du hast ja vollkommen Recht.
Lies aber meine Antwort nochmal. Ich habe zu Anfang darauf hingewiesen, dass der Zähler von Anfang an 0 ist. Unterlassen habe ich allerdings den Hinweis, dass man damit fertig ist.
Ansonsten ging es mir nur darum, die weiteren (wenn auch unnötigen) Rechenschritte zu überprüfen. Es ist nicht an sich falsch, [mm] \lim_{x\to 0}\bruch{0}{g(x)} [/mm] weiter mit l'Hospital zu behandeln, da man die 0 ja auch als f(x)=0 betrachten kann (wie ich auch schrieb).
Dass das nicht nötig ist, ist mir klar.
Danke für den Hinweis.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 00:41 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Marcel,
>
> Du hast ja vollkommen Recht.
> Lies aber meine Antwort nochmal. Ich habe zu Anfang darauf
> hingewiesen, dass der Zähler von Anfang an 0 ist.
das habe ich gesehen.
> Unterlassen habe ich allerdings den Hinweis, dass man damit
> fertig ist.
Okay - ehrlich gesagt wurd's mir danach zu viel, das alles genau
durchzulesen. Denn ich habe nur gesehen:
Die armen Spatzen müssen beschützt werden!!
Beim nächsten Mal wirklich an solchen Stellen nicht noch alles unnötige
kommentieren, sondern wirklich drauf hinweisen: Hey, mit zwei oder
drei Gleichheitszeichen bist Du doch fertig.
Oder sowas kann man wenigstens ganz deutlich am Ende
kommentieren mit Worten wie:
"Ich hab's zwar jetzt korrigiert, aber sehen hättest Du eigentlich müssen,
dass Du mit ... schon fertig bist!"
( So deutlich hätte ich das kommentiert!  )
Jedenfalls tat's mir echt weh, das zu lesen - insbesondere die Behauptung,
dass der Nenner Null sei - das wird er niemals sein. Wenn Du sagst, dass
[mm] $$\lim_{x \to 0} (\sin(x)-x)=\lim_{0 \not=x \to 0}(\sin(x)-x)=0$$
[/mm]
sei, dann akzeptiere ich das - das ist richtig. Bei $x [mm] \to [/mm] 0$ (also $0 [mm] \not=x \to [/mm] 0$) strebt der Nenner gegen [mm] $0\,.$ [/mm] Aber Null sein wird er nach wie vor
niemals!
Gruß,
Marcel
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