Ableitung-Differenzenquotient < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Mi 21.09.2005 | | Autor: | Korgo |
Hallo zusammen,
ich habe mal wieder ein paar Fragen zu einer Übungsaufgabe.
Berechnen Sie mit Hilfe der Differenzenquotienten die Ableitungen folgender Funktionen mit $ [mm] x_{0} [/mm] = 5 $ für a) und $ [mm] x_{0} [/mm] = [mm] \bruch{ \pi}{2} [/mm] $ für b) bis d).
a)
$ f(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] $
b)
$ g(x) = sin(x) $
c)
$ h(x) = cos(x) $
d)
$ k(x) = tan(x) $
Soweit die Aufgabe.
a) habe ich schon geschafft.
[mm] \limes_{x\rightarrow5} \bruch{ \wurzel{x} - \wurzel{5}}{x - 5} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow5} \bruch{ \wurzel{x} - \wurzel{5}}{(\wurzel{x} - \wurzel{5})*(\wurzel{x} + \wurzel{5})} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow5} \bruch{1}{\wurzel{x} + \wurzel{5}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{5}}
[/mm]
Zu den restlichen Aufgaben habe ich bisher nichts großartiges geschafft.
Ich habe dafür verschiedene Umformungen benutzt, wie:
$ [mm] \sin(x) [/mm] = [mm] \cos(x+ \bruch{\pi}{2}) [/mm] $,
$ [mm] \cos(x) [/mm] = [mm] \sin(x- \bruch{\pi}{2}) [/mm] $,
$ 1 = [mm] \cos(x)^2+\sin(x)^2 [/mm] $
usw. aber ich habe nix verwertbares rausbekommen.
Korgo
(Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hallo!
> Berechnen Sie mit Hilfe der Differenzenquotienten die
> Ableitungen folgender Funktionen mit [mm]x_{0} = 5[/mm] für a) und
> [mm]x_{0} = \bruch{ \pi}{2}[/mm] für b) bis d).
>
> a)
> [mm]f(x) = \wurzel{x}[/mm]
>
> b)
> [mm]g(x) = sin(x)[/mm]
>
> c)
> [mm]h(x) = cos(x)[/mm]
>
> d)
> [mm]k(x) = tan(x)[/mm]
>
>
> Soweit die Aufgabe.
>
> a) habe ich schon geschafft.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow5} \bruch{ \wurzel{x} - \wurzel{5}}{x - 5}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow5} \bruch{ \wurzel{x} - \wurzel{5}}{(\wurzel{x} - \wurzel{5})*(\wurzel{x} + \wurzel{5})}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow5} \bruch{1}{\wurzel{x} + \wurzel{5}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{5}}[/mm]
>
> Zu den restlichen Aufgaben habe ich bisher nichts
> großartiges geschafft.
> Ich habe dafür verschiedene Umformungen benutzt, wie:
>
> [mm]\sin(x) = \cos(x+ \bruch{\pi}{2}) [/mm],
>
> [mm]\cos(x) = \sin(x- \bruch{\pi}{2}) [/mm],
>
> [mm]1 = \cos(x)^2+\sin(x)^2[/mm]
>
> usw. aber ich habe nix verwertbares rausbekommen.
Kennst du auch die andere Definition des Differentialquotienten? Also [mm] \lim_{h\to 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}? [/mm] Evtl. hilft dir das vielleicht. Außerdem könnte dir der Anhang hier für den Sinus helfen (ist leider etwas schlecht zu lesen...).
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Do 22.09.2005 | | Autor: | Korgo |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Vielen Dank Bastiane,
das war der Denkanstoß, den ich gerade brauchte.
Ich konnte inzwischen alle Teilaufgaben lösen.
b)
$ g'(x_{0}) = \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{g(x) - g(x_{0})}{x - x_{0}} $
$ = \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{\sin(x) - \sin(x_{0})}{x - x_{0}} $
$ = \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{2 * \cos( \bruch{x + x_{0}}{2}) * \sin(\bruch{x - x_{0}}{2})}{x - x_{0}} $
$ = \limes_{x\rightarrow x_{0}} \cos( \bruch{x + x_{0}}{2}) * \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{ \sin( \bruch{x - x_{0}}{2})}{ \bruch{x - x_{0}}{2}}} $
$ = \cos(\bruch{\pi}{2}) * 1 $
$ = 0 $
c)
$ h'(x_{0}) = \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{h(x) - h(x_{0})}{x - x_{0}} $
$ = \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{\cos(x) - \cos(x_{0})}{x - x_{0}} $
$ = \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{-2 * \sin(\bruch{x + x_{0}}{2}) * \sin(\bruch{x - x_{0}}{2})}{x - x_{0}} $
$ = -1 * \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{\sin(\bruch{x + x_{0}}{2}) * \sin(\bruch{x - x_{0}}{2})}{\bruch{x - x_{0}}{2}} $
$ = -1 * \limes_{x\rightarrow x_{0}} \sin(\bruch{x + x_{0}}{2}) * \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{\sin(\bruch{x + x_{0}}{2})}{\bruch{x + x_{0}}{2}} $
$ = -1 * \sin(x_{0}) * 1 $
$ = -\sin(x_{0}) $
$ = -1 $
d)
Den Tangens erspar ich euch nun, der wird sowieso nur umgeschrieben.
$ \tan(x) = \bruch{\sin(x)}{\cos(x)} $
Und dann einzeln wie oben berechnet.
Nur wegen des x_{0} muss ich nochmal nachfragen, da ist der Tangens garnicht definiert.
Aber das ist das kleinste Problem,
vielen Dank nochmal auch an Julius.
Korgo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:55 Do 22.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Es wird dir nicht gelingen dies nur aus den Additionstheoremen herzuleiten. Was du auf jeden Fall benötigst, ist eine Beziehung der Art
(*) [mm] $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} [/mm] =1$,
die man sich am besten geometrisch herleitet (siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) hier).
Nur mit der Definition des Sinus und den Additionstheoremen lässt sich (*) nicht direkt herleiten (oder so wie Vietoris im Wikipedia-Text, aber auch dort muss man die Konstante am Schluss interpretieren), aber diese (oder eine ähnliche Beziehung) benötigst du, weil du ansonsten keine Beziehung zwischen Zähler und Nenner des Differenzenquotienten bekommst.
Viele Grüße
Julius
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