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Hallo
ich hab da mal ein Prolem mit dem Ableiten von Funtion:
[mm] \bruch{1}{3}tan{^3}x [/mm]
wie leite ich diese Funktion ab? Was muss ich benutzen Kettenregel oder Potenzregel oder beides
Bin schon ganz konfuss
Danke für eure Mühe
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Fr 03.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Das ist im Wesentlichen die Kettenregel, und innerhalb der Kettenregel wird die Potenzregel benötigt.
Lassen wir den Faktor [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] mal beiseite, der beim Ableiten nach der Faktorregel als konstanter Faktor eh vor die Ableitung wandert.
Dann hast du
$h(x) = [mm] \tan^3(x) [/mm] = g(f(x))$
mit
[mm] $g(x)=x^3$
[/mm]
und
[mm] $f(x)=\tan(x)$.
[/mm]
Nach der Kettenregel gilt:
$h'(x) = g'(f(x)) [mm] \cdot [/mm] f'(x)$.
Weiterhin wissen wir (Potenzregel):
[mm] $g'(x)=3x^2$,
[/mm]
also:
$g'(f(x)) = [mm] 3\tan^2(x)$.
[/mm]
Ebenso bekannt ist:
$f'(x) = [mm] \frac{1}{\cos^2(x)}$.
[/mm]
Wir haben also:
$h'(x) = 3 [mm] \tan^2(x) \cdot \frac{1}{\cos^2(x)}$.
[/mm]
Die Ableitung von [mm] $\frac{1}{3}\tan^3(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{3}h(x)$ [/mm] ist also:
[mm] $\frac{\tan^2(x)}{\cos^2(x)}$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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