Ableiten mit Definition < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Fr 23.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Benutzen sie die Definition der Ableitung um folgende Funktıionen zu differenzieren.
a) f(x)=2x b) [mm] f(x)=x^2 [/mm] c) [mm] f(x)=\bruch{1}{x^2} [/mm] |
Hallo,
zu a) habe ich:
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(2*0+2h)-f(2*0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{2h}{h}=\limes_{h\rightarrow 0} [/mm] 2
somit ist der Grenzwert 2 und in diesem Fall ist der Grenzwert die erste Ableitung. İst das so korrekt?
zu b)
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(0^2+h^2)-f(0^2)}{h}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{h^2}{h}=\limes_{h\rightarrow0} [/mm] h=0
hier bin ich mir unsicher...die Ableitung von [mm] x^2 [/mm] ist ja 2x, aber hier kommt 0 raus. Habe ich etwas falsch gemacht?
zu c habe ich analog [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{1}{h}=0
[/mm]
Eine Frage habe ich noch zum rechts- und linksseitigen Grenzwert. Mach ich das nur bei zusammengesetzten Funktionen oder müsste bzw. könnte ich das auch hier machen?
Vielen dank im voraus.
Lg Melisa
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Hallo Melisa!
Du bekommst falsche Ergebnisse heraus, da Du stets [mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] einsetzt.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Fr 23.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
> zu a) habe ich:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(2*0+2h)-f(2*0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{2h}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}[/mm]
> 2
>
Erst einmal danke für die schnelle Antwort, aber ich versteh das immer noch nicht so ganz. Ok das das mit der 0 falsch ist habe ich jetzt verstanden, jedoch kommt da doch trotzdem das selbe raus, weil:
[mm] f(2x_{0}+2x)-f(2x_{0})=f(2x_{0}+2x-2x_{0})=2x [/mm]
also wieder das selbe oder wo mache ich einen Fehler?
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Hallo Melisa!
Nun ja, bei Aufgabe a.) bleibt das Ergebnis wie ganz oben, da doch für $f(x) \ = \ 2*x$ gilt: $f'(x) \ = \ 2$ .
> [mm]f(2x_{0}+2x)-f(2x_{0})=f(2x_{0}+2x-2x_{0})=2x[/mm]
Das ist ja mehr als grausam und verkehrt aufgeschrieben:
[mm] $$f'(x_0) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{2*(x_0+h)-2*x_0}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{2*x_0+2*h-2*x_0}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{2*h}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow0}2 [/mm] \ = \ 2$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Fr 23.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ok das mit a habe ich jetzt verstanden. Was ist aber mit b und c? Klar die das da bei [mm] x_{0} [/mm] keine null kommt habe ich kapiert. Am ende kommt aber bei beiden 0 raus. [mm] f(x)=x^2 [/mm] ist aber abgeleitet 2x? Was ist hier falsch?
Und was muss bei der Definition überhaupt rauskommen, damit man sagen kann das die Funktion nicht stetig ist.
Vielen dank im voraus.
Lg Melisa
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Hallo,
eine Bitte vorab:
Aktualisiere mal dein Profil und gib deinen mathem. Hintergrund an.
Dann kann man viel besser mit dem Hilfeniveau ansetzen ...
> Hallo,
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> ok das mit a habe ich jetzt verstanden. Was ist aber mit b
> und c? Klar die das da bei [mm]x_{0}[/mm] keine null kommt habe ich
> kapiert. Am ende kommt aber bei beiden 0 raus. [mm]f(x)=x^2[/mm] ist
> aber abgeleitet 2x? Was ist hier falsch?
Du musst stur die Definition anwenden und "nur" einsetzen:
2) [mm] $f(x)=x^2, [/mm] \ [mm] x_0\in\IR$ [/mm] beliebig.
Dann ist [mm] $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{x_0^2+2hx_0+h^2-x_0^2}{h}$
[/mm]
Nun fasse im Zähler zusammen, dann kannst du h ausklammern und gegen das h im Nenner kürzen.
Danach kannst du gefahrlos den Grenzübergang [mm] $h\to [/mm] 0$ machen.
Nach demselben Schema geht 3)
[mm] $f(x)=\frac{1}{x^2}, x_0\in\IR$ [/mm] beliebig, aber natürlich [mm] $\neq [/mm] 0$
Dann [mm] $\lim\limits_{h\to 0}\frac{\red{f(x_0+h)-f(x_0)}}{\green{h}}=\lim\limits_{h\to 0}\green{\frac{1}{h}}\cdot{}\left(\red{\frac{1}{(x_0+h)^2}-\frac{1}{x_0^2}}\right)=\ldots$
[/mm]
Hier ist nun Bruchrechnung gefragt!
Löse zuerst das Binom auf, dann mache gleichnamig durch entsprechendes Erweitern.
Dann zusammenfassen und du kannst wieder $h$ ausklammern, das du dann gegen das h in dem Vorfaktor [mm] $\frac{1}{h}$ [/mm] wegkürzen kannst, wonach du wieder gefahrlos [mm] $h\to [/mm] 0$ gehen lassen kannst ...
>
> Und was muss bei der Definition überhaupt rauskommen,
> damit man sagen kann das die Funktion nicht stetig ist.
Wie? stetig? Es geht doch hier um Diffbarkeit ...
Wenn der [mm] $\lim\limits_{h\to 0}$ [/mm] des Differenzenquotienten nicht existiert oder wenn etwa linksseitiger und rechtsseitiger Limes des Diff.quotienten nicht übereinstimmen, ist die Funktion (an der entsprechend untersuchten Stelle nicht diffbar)
Das bedeutet aber nicht, dass sie an der Stelle nicht stetig ist ...
Schaue dir mal das Bsp. $f(x)=|x|, \ [mm] x_0=0$ [/mm] an ...
Dort ist f sicher stetig, aber nicht diffbar. Wieso nicht?
>
>
> Vielen dank im voraus.
>
> Lg Melisa
Gruß
schachuzipus
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Hallo melisa1,
> Eine Frage habe ich noch zum rechts- und linksseitigen
> Grenzwert. Mach ich das nur bei zusammengesetzten
> Funktionen
Du meinst bei abschnittsweise definierten Funktionen.
Bei denen ist ja meinstens in den Aufgabenstellungen so, dass die Diffbarkeit nur an den "Nahtstellen" untersucht werden muss, da die Teilfunktionen überall sonst diffbar sind.
Da gilt es linksseitigen und rechtsseitigen Limes des Differenzenquotienten zu bestimmen (je nachdem, ob du dich von oben oder unten an die "Nahtstelle" [mm] $x_0$ [/mm] heranpirscht, ist ja die Funktion anders definiert ....
> oder müsste bzw. könnte ich das auch hier
> machen?
Klar kannst du das, eine Funktion [mm] $f:I\to\IR$ [/mm] ist in [mm] $x_0\in [/mm] I$ diffbar, wenn rechtsseitiger und linksseitiger Limes des Differenzenquotienten für [mm] $x\to x_0$ [/mm] existieren und übereinstimmen!
>
> Vielen dank im voraus.
>
> Lg Melisa
Gruß
schachuzipus
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