Ableiten mehrteiliger Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:17 Mi 23.01.2008 | | Autor: | upskuhr |
| Aufgabe | Ableitung von
[mm] f(x)=\begin{cases} x^2 sin(\bruch{1}{x}) , & \mbox{für } x \not=0 \\ 0 , & \mbox{für } x=0 \end{cases} [/mm] |
Obige Funktion mal als Beispiel. Wie kann ich von solchen mehrteiligen Funktionen generell die Ableitung bilden? Ich hätte jetzt gedacht, dass ich einfach für jeden Fall die Ableitung bilde und die Ableitung dann wieder die selben Fälle hat.
Irritiert hat mich dann ein Blick in unser Skript, wo der Prof. bei dem obigen Beispiel, für den Fall x=0 den Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x) [/mm] gebildet hat und diesen in der Ableitung verwendet hat (was in dem Beispiel aber ja der selbe Wert ist, wie die Ableitung gewesen wäre)
Ein weiteres Beispiel wäre:
[mm] f(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } x\ge 0 \\ -x^2, & \mbox{für } x<0 \end{cases}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Mi 23.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich weiß jetzt nicht die genaue Aufgabenstellung, aber vielleicht kann ich dir doch behilflich sein.
Wenn der Prof.
[mm] \limes_{x\rightarrow{0}}f(x)=\limes_{x\rightarrow{0}}x^2 sin(\bruch{1}{x}) [/mm] berechnet, will er prüfen, ob f in x=0 stetig ist.
Gilt [mm] \limes_{x\rightarrow{0}}x^2 sin(\bruch{1}{x})=0, [/mm] was durchaus der Fall ist, so ist f in x=0 stetig, weil f von beiden Seiten, links- bzw. rechtsseitiger Grenzwert, gegen 0 strebt.
Jetzt leitet er ab:
[mm] f'(x)=\begin{cases} 2x*sin(\bruch{1}{x})-\bruch{1}{x^2}*cos(\bruch{1}{x}) , & \mbox{für } x \not=0 \\ 0 , & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
> Fall x=0 den Grenzwert $ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x) [/mm] $ gebildet hat und diesen in der Ableitung verwendet hat (was in dem Beispiel aber ja der selbe Wert ist, wie die Ableitung gewesen wäre)
Verstehe ich nicht ganz.
Auf jeden Fall kannst du wieder auf die gleiche Art prüfen, ob f' stetig in x=0.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Mi 23.01.2008 | | Autor: | upskuhr |
> will er prüfen, ob f in x=0 stetig ist.
Inwiefern ist es denn für differenzierbarkeit/zur Bildung der Ableitung relevant, ob eine Funktion stetig ist?
Wenn man mal von dem Beispiel wegkommt, stimmt denn dann meine Annahme, dass im Allgemeinem gilt
[mm] f(x)=\begin{cases} f_1(x), & \mbox{in Fall 1} \\ f_2(x), & \mbox{in Fall 2} \\ ...
\end{cases}
[/mm]
=>
[mm] f'(x)=\begin{cases} f_1'(x), & \mbox{in Fall 1} \\ f_2'(x), & \mbox{in Fall 2} \\ ... \end{cases}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Mi 23.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
die erst und die 2. Funktion sind verschieden.
für die 2te- [mm] x^2 [/mm] und [mm] -x^2 [/mm] kann man natürlich ausser bei x=0 überall einfach differenzieren. hier weisst du aber dass für den Gw. der Ableitungen von rechts und von links 0 rauskommt, also diffbar.
bei x^2sin1/x gibts die fkt gar nicht bei 0, auch nicht ihre Ableitung. deshalb musst du den Differentialquotienten für x gegen 0 echt bilden (die fkt f(x)=0 selbst , da sie ja nur in einem Pkt def. ist hat keine Ableitung.
das läuft aber auf dasselbe raus, (f(x)-f(o))/x für x gegen 0 wie die Stetigkeit von x*sin1/x.
Zur Voruntersuchung auf Stetigkeit, eine fkt, die nicht stetig ist in einem Pkt ist da sicher nicht diffb. also untersucht man die Stetigkeit an kritischen Punkten immer als erstes.
Gruss leduart
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