Ableiten einer ln-Funktion < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktion [mm] ln\lambda=(1-\beta)ln*(R(L(w)-w*L(w)) [/mm] soll, unter
der Nebenbedingung [mm] w=\bruch{dR}{dL} [/mm] nach w abgeleitet werden. |
Hallo,
das Ergebnis ist laut Lösungsbuch [mm] \bruch{dln\lambda}{dw}=(1-\beta)*[\bruch{\bruch{dR}{dL}*\bruch{dL}{dw}-\bruch{dL}{dw}*w-L(w)}{R*(L(w)-w*L(w))}]
[/mm]
Ich habe keine Ahnung wie hier R(L(w) im Zähler nach w abgeleitet wurde?
Wie komme ich da auf [mm] \bruch{dR}{dL}*\bruch{dL}{dw}?
[/mm]
Nach welcher Ableitungsregel muss ich hier vorgehen? Und welche Rolle spielt die Nebenbedingung?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Sa 20.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist die ganz normale Kettenregel (f(g(x)))'=df/dg*g'
gruss leduart
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| Aufgabe | Die Funktion $ [mm] ln\lambda=(1-\beta)ln\cdot{}(R(L(w)-w\cdot{}L(w)) [/mm] $ soll, unter
der Nebenbedingung $ [mm] w=\bruch{dR}{dL} [/mm] $ nach w abgeleitet werden. |
hmm, ich versuchs mal
Kettenregel:
f(x)=g(h(x)) => f'(x)=h'(x)*g'(x)
h(x)=L(w) => [mm] h'(x)=\bruch{dL}{dw}
[/mm]
g(x)=R(L(w)) =>g'(x)=???
So denke bis hierhin ist es korrekt.
Aber wie leite ich nun g'(x) ab?
Wieder die Kettenregel anwenden? Also Die Kettenregel innerhalb einer Kettenregel, oder wie?
Ist ein wenig verwirrend....
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Hallo damjanovic,
> Die Funktion
> [mm]ln\lambda=(1-\beta)ln\cdot{}(R(L(w)-w\cdot{}L(w))[/mm] soll,
> unter
> der Nebenbedingung [mm]w=\bruch{dR}{dL}[/mm] nach w abgeleitet
> werden.
> hmm, ich versuchs mal
>
> Kettenregel:
>
> f(x)=g(h(x)) => f'(x)=h'(x)*g'(x)
Die Kettenregel lautet korrekterweise so:
[mm]f'\left(x\right)=g'\left( \ h\left(x\right) \ \right)*h'\left(x\right)[/mm]
>
> h(x)=L(w) => [mm]h'(x)=\bruch{dL}{dw}[/mm]
>
> g(x)=R(L(w)) =>g'(x)=???
>
> So denke bis hierhin ist es korrekt.
>
> Aber wie leite ich nun g'(x) ab?
Differenziere g, wie h, nach x, und setze für
das Argument von g' die Funktion h ein.
> Wieder die Kettenregel anwenden? Also Die Kettenregel
> innerhalb einer Kettenregel, oder wie?
>
> Ist ein wenig verwirrend....
>
Gruss
MathePower
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Ich soll ja nach w differnzieren, h(x) und g(x) ist ja nur die allg. Schreibweise.
also wenn g(x)=R(L(w)), dann ist doch [mm] g'(x)=\bruch{dR(L(w))}{dw} [/mm] oder nicht?
Aber was meinst du jetzt mit "und setze für das Argument von g' die Funktion h ein"?
Kapier ich nicht....
Könntest du bitte diesen Schritt etwas genauer ausführen!?
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Hallo damjanovic,
> Ich soll ja nach w differnzieren, h(x) und g(x) ist ja nur
> die allg. Schreibweise.
>
> also wenn g(x)=R(L(w)), dann ist doch
> [mm]g'(x)=\bruch{dR(L(w))}{dw}[/mm] oder nicht?
Nein, g' ist hier die Ableitung von R nach L.
>
> Aber was meinst du jetzt mit "und setze für das Argument
> von g' die Funktion h ein"?
Nun, g' hat das Argument x: [mm]g'\left(x\right)[/mm]
Setze nun für dieses x die Funktion h(x) ein:[mm]g'\left( \ h\left(x\right) \ \right)[/mm]
>
> Kapier ich nicht....
>
> Könntest du bitte diesen Schritt etwas genauer
> ausführen!?
>
Gruss
MathePower
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> Nein, g' ist hier die Ableitung von R nach L.
Und wieso? In der Aufgabenstellung steht doch, dass nach w abgeleitet werden soll! Warum denn plötzlich nach L ableiten?
Verstehe ich nicht
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Hallo damjanovic,
> > Nein, g' ist hier die Ableitung von R nach L.
>
> Und wieso? In der Aufgabenstellung steht doch, dass nach w
> abgeleitet werden soll! Warum denn plötzlich nach L
> ableiten?
Das ergibt sich aus der Kettenregel.
[mm]\bruch{dR}{dw}=\bruch{dR}{dL}*\bruch{dL}{dw}[/mm]
Damit ist g' die Ableitung von R nach L
und h' die Ableitung von L nach w.
> Verstehe ich nicht
>
Gruss
MathePower
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> Das ergibt sich aus der Kettenregel.
>
> [mm]\bruch{dR}{dw}=\bruch{dR}{dL}*\bruch{dL}{dw}[/mm]
>
> Damit ist g' die Ableitung von R nach L
> und h' die Ableitung von L nach w.
????
Wir versuchen doch gerade erst nach der Kettenregel abzuleiten, woher ergibt sich deine obengenannte Gleichung?
Ich bin die Kettenregel doch gerade erst am konstruieren...
ich versuchs nochmal:
h=L(w), also die innere Ableitung, d.h. alles innerhalb der Klammer.
h' ist ja nun L(w) nach w abgeleitet, also [mm] h'=\bruch{dL}{dw}
[/mm]
g=R(L(w)). also die äußere Ableitung, hier also nochmal der ganze Term.
Soweit liege ich doch richtig?
Warum ist jetzt [mm] g'=\bruch{dR}{dL}
[/mm]
Kannst du es mal bitte ausführlich hinschreiben, sonst kapier ich es in 100 Jahren noch nicht
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Hallo damjanovic,
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> Warum ist jetzt [mm]g'=\bruch{dR}{dL}[/mm]
>
> Kannst du es mal bitte ausführlich hinschreiben, sonst
> kapier ich es in 100 Jahren noch nicht
>
Gut, dann eben über den Differenzenquotienten.
Die Ableitung von [mm]R\left( \ L\left(w\right) \ \right)[/mm] nach w ist gesucht.
Gemäß der Definition des Differenzenquotienten gilt:
[mm]\bruch{R\left( \ L\left(w+h\right) \ \right)-R\left( \ L\left(w\right) \ \right)}\left(w+h\right)-w}= \bruch{R\left( \ L\left(w+h\right) \ \right)-R\left( \ L\left(w\right) \ \right)}{h}[/mm]
Diesen Ausdruck kann man jetzt auch so schreiben:
[mm]\bruch{R\left( \ L\left(w+h\right) \ \right)-R\left( \ L\left(w\right) \ \right)}{h}=\bruch{R\left( \ L\left(w+h\right) \ \right)-R\left( \ L\left(w\right) \ \right)}{L\left(w+h\right)-L\left(w\right)}*\bruch{L\left(w+h\right)-L\left(w\right)}{h}[/mm]
Bildet man den Grenzwert für [mm]h \to 0[/mm], so folgt:
[mm]\limes_{h \ţo 0}\bruch{R\left( \ L\left(w+h\right) \ \right)-R\left( \ L\left(w\right) \ \right)}{h}=\limes_{h \to 0}\bruch{R\left( \ L\left(w+h\right) \ \right)-R\left( \ L\left(w\right) \ \right)}{L\left(w+h\right)-L\left(w\right)}*\bruch{L\left(w+h\right)-L\left(w\right)}{h}[/mm]
[mm]=\limes_{h \to 0}\bruch{R\left( \ L\left(w+h\right) \ \right)-R\left( \ L\left(w\right) \ \right)}{L\left(w+h\right)-L\left(w\right)}*\limes_{h \to 0}\bruch{L\left(w+h\right)-L\left(w\right)}{h}[/mm]
Der Grenzwert des ersteren Differenzenquotienten ist:
[mm]\limes_{h \to 0}\bruch{R\left( \ L\left(w+h\right) \ \right)-R\left( \ L\left(w\right) \ \right)}{L\left(w+h\right)-L\left(w\right)}=\bruch{dR}{dL}\left( \ L\left(w\right) \ \right)[/mm]
Der Grenzwert des zweiten Differenzenquotienten ist:
[mm]\limes_{h \to 0}\bruch{L\left(w+h\right)-L\left(w\right)}{h}=\bruch{dL}{dw}[/mm]
Somit folgt
[mm]\bruch{dR\left( \ L\left(w\right) \ \right)}{dw}=\bruch{dR}{dL}\left( \ L\left(w\right) \ \right)*\bruch{dL}{dw}[/mm]
Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia - Kettenregel
Gruss
MathePower
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Tut mir leid, habe weder von einem Differenzenquotienten gehört noch verstehe ich deine Ausführung.
Muss ich das alles rechnen nur um g'(h(x)) rauzubekommen? Kann ich gar nicht glauben.....
Ích will doch einfach nur möglichst simpel ( bin kein Mathematiker) erklärt bekommen wie man auf g'(h(x)) kommt!
g(x)=R(L(w)) trifft doch zu? Kannst du mir das BESTÄTIGEN?
wenn g(x)=R(L(w)) ist, muss ich um die 1. Ableitung dieser Funktion zu bekommen jetzt genau was machen???
g(x)=R(L(w)) ist doch die Ausgangslage! In der Aufgabenstellung steht man soll nach w ableiten! Mehr Informationen habe ich ja nicht!
Jetzt muss ich doch dasselbe tun wie im Fall von h(x), also
h(x)=L(w) => nach w abgeleitet ergibt [mm] h'(x)=\bruch{L}{w}.
[/mm]
Das ist logisch nach der Kettenregel vorgegangen.
Genauso müsste ich doch jetzt g(x) ableiten!
Wieso leite ich jetzt R(L(w)) nach L ab???
Kannst du mir es nicht Schritt für Schritt hinschreiben (gemäß dwer Kettenregel), so wie ich es gerade für die 1. Ableitung von h(x) gemacht habe?
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Kettenregel bei einem Zahlenbeispiel ist doch auch sehr simpel:
f(x)=f(5-7x) nach x ableiten.
h(x)=5-7x =>h'(x)=-7
g(x)=f(5-7x) [mm] =>g'(x)=\bruch{df(5-7x)}{dx}=f'(5-7x)
[/mm]
somit ist f'(x)=-7*f'(5-7x)
So hier leite ich g(x) doch auch nach x ab (wie in Aufgabenstellung gefordert) und nicht nach einer anderen Variablen!!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Sa 20.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
g ist ja di innere fkt, also dein L das leitest du ja auch nach w ab, aber die äussere fkt f schreibst du einfach f'(g(x))=f'(5-7x)
du bildest also die Ableitung von f an der Stelle 5-7x und nicht an der stelle x
ersetzest du 5-7x durch y dann bildest du doch df/dy
[mm]f'(x)=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
du meist aber [mm] f'(y)=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(y+h)-f(y)}{h} [/mm] $
und das schreibt man als df/dy und nicht df/dx egal wie kompliziert y ist. und bei dir hat y halt den Namen L
gruss leduart
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Hallo damjanovic,
> Tut mir leid, habe weder von einem Differenzenquotienten
> gehört noch verstehe ich deine Ausführung.
>
> Muss ich das alles rechnen nur um g'(h(x)) rauzubekommen?
> Kann ich gar nicht glauben.....
Nein.
>
> Ích will doch einfach nur möglichst simpel ( bin kein
> Mathematiker) erklärt bekommen wie man auf g'(h(x))
> kommt!
>
Entschuldige, aber Du hast auf das "ausführlich" bestanden.
>
>
>
> g(x)=R(L(w)) trifft doch zu? Kannst du mir das
> BESTÄTIGEN?
Ja.
>
> wenn g(x)=R(L(w)) ist, muss ich um die 1. Ableitung dieser
> Funktion zu bekommen jetzt genau was machen???
Du mußt R nach L ableiten, und L nach w ableiten,
Und diese Ableitungen miteinander multiplizieren.
>
> g(x)=R(L(w)) ist doch die Ausgangslage! In der
> Aufgabenstellung steht man soll nach w ableiten! Mehr
> Informationen habe ich ja nicht!
>
> Jetzt muss ich doch dasselbe tun wie im Fall von h(x),
> also
> h(x)=L(w) => nach w abgeleitet ergibt [mm]h'(x)=\bruch{L}{w}.[/mm]
> Das ist logisch nach der Kettenregel vorgegangen.
>
> Genauso müsste ich doch jetzt g(x) ableiten!
> Wieso leite ich jetzt R(L(w)) nach L ab???
Kettenregel heißt äußere Ableitung mal innere Ableitung.
Das heißt, hier muß die äußere Funktion nach ihrem Argument
abgeleitet werden, also R nach L.
Und die innere Funktion L(w) nach ihren Argument, also L nach w.
>
> Kannst du mir es nicht Schritt für Schritt hinschreiben
> (gemäß dwer Kettenregel), so wie ich es gerade für die
> 1. Ableitung von h(x) gemacht habe?
>
>
Gruss
MathePower
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Das bedeutet also wenn z.B.
g(x)=R(Z(w)) wäre müsste ich R nach Z ableiten => [mm] \bruch{dR(Z(w)) }{dZ}
[/mm]
g(x)=R(P(w)) wäre müsste ich P nach Z ableiten => [mm] \bruch{dR(P(w))}{dP}???
[/mm]
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Hallo damjanovic,
> Das bedeutet also wenn z.B.
>
> g(x)=R(Z(w)) wäre müsste ich R nach Z ableiten =>
> [mm]\bruch{dR(Z(w)) }{dZ}[/mm]
>
> g(x)=R(P(w)) wäre müsste ich P nach Z ableiten =>
> [mm]\bruch{dR(P(w))}{dP}???[/mm]
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:55 Sa 20.11.2010 | | Autor: | damjanovic |
Okay, danke für die Hilfe und deine Ausdauer ( hat ja ein wenig länger gedauert)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Sa 20.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwie ist die kettenregel dir scheint es unklar. ich nehm mal für L(w) eine konkrete Funktion als Beispiel L=sin(w)
wie bildest du dann dR/dw wenn R=R(sin(w)) ist.
wenn es noch weniger abstrakt sein soll nimm auch noch für R ne funktion an
[mm] R(L)=\wurzel{1+L^2}
[/mm]
leite also ab [mm] \wurzel{1+sin^2{w}} [/mm] nach w
Dann vergleich das was du jetzt sicher kannst mit dem allgemein dargestellten.
Gruss leduart
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