Abl. allg. Exponentialfunktion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche der beiden Funktionen wächst schneller?
x^2000 oder [mm] 1.001^x? [/mm] |
Ich dachte mir das was schneller wächst, hat auch den steileren Anstieg.
Aber wie bekomm ich die erste Ableitung von [mm] 1.001^x? [/mm] (also wie wende ich den Logarithmus genau auf die Funktion an).
Irgendwann wird halt [mm] 1.001^x [/mm] größer. Kann man diesen Zeitpunkt berechnen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 Mi 11.07.2007 | | Autor: | Sax |
Hi,
Die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion f(x) = [mm] a^{x} [/mm] bekommst Du, indem Du f(x) = [mm] e^{ln a^{x}} [/mm] = [mm] e^{x*ln a} [/mm] schreibst und mit der Kettenregel differenzierst.
Die Gleichung [mm] x^{2000} [/mm] = [mm] 1,001^{x} [/mm] kann nicht nach x aufgelöst werden. Es gibt nur numerische Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von x.
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Ah stimmt, die Umformung hatte ich außer Acht gelassen, danke!
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Also intuitiv kann ichs beantworten, aber wie beleg ich den Verdacht denn mathematisch?
Vielleicht durch: "Exponentielles Wachstum ist durch die besondere Eigenschaft gekennzeichnet, dass der [jeweils] letzte Eintrag größer ist als die Summe aller vorherigen Einträge." und das das bei Potenzfunktionen nicht der Fall ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Sa 14.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ich würde untersuchen, ob ab einem x [mm] \bruch{x^{2000}}{1.001^{x}}<1 [/mm] ist. Da ln strengmonoton ist, ist das aquivalent zu:
ab einem x gilt immer [mm] \bruch{2000*\ln(x)}{x*\ln(1.001)}<1. [/mm]
Gruß,
dormant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Sa 14.07.2007 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> Also intuitiv kann ichs beantworten, aber wie beleg ich den
> Verdacht denn mathematisch?
> Vielleicht durch: "Exponentielles Wachstum ist durch die
> besondere Eigenschaft gekennzeichnet, dass der [jeweils]
> letzte Eintrag größer ist als die Summe aller vorherigen
> Einträge." und das das bei Potenzfunktionen nicht der Fall
> ist?
Ist doch total logisch, dass [mm] 1.001^x [/mm] schneller wächst als [mm] x^{2000}
[/mm]
Mach doch mal eine Taylorreihenentwicklung für [mm] 1.001^x [/mm] bis zur 2001 Stelle. ;)
Oder mach es mit De L'Hospital
[mm] $\lim_{x\to \infty} \frac{1.001^x}{x^{2000}}= \lim_{x\to \infty} \frac{e^{ln(1.001)x}}{x^{2000}} =\lim_{x\to \infty} \frac{ln(1.001)e^{ln(1.001)x}}{2000*x^{1999}}$ [/mm]
Das macht man jetzt noch 1999 mal und schon sieht man, dass der Grenzwert nicht existiert (also gegen unendlich geht).
MfG
Disap
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