Abl.-Regeln bei Richtungsabl. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] D\subset R^n [/mm] offen, [mm] a\in [/mm] D, [mm] v\in R^n, [/mm] und seinen f,g:D->R Funktion, sodass die Richtungsableitung [mm] D_{v}f(a) [/mm] und [mm] D_{v}g(a) [/mm] existieren. Zeigen Sie, dass die Richtungsableitungen die Summen-, Produkt- und Quotientenregel wie im eindim. Fall erfüllen, d.h. die Richtungsableitungen
[mm] D_{v}(f+g)(a), D_{v}(fg)(a) [/mm] und [mm] D_{v}(f/g)(a) [/mm] existieren und es gilt:
[mm] D_{v}(f+g)(a)=D_{v}(f)(a)+D_{v}(g)(a)
[/mm]
[mm] D_{v}(fg)(a)=D_{v}(f)(a)*g(a)+D_{v}(g)(a)*f(a)
[/mm]
[mm] D_{v}(f/g)(a) =\bruch{D_{v}(f)(a)*g(a)-D_{v}(g)(a)*f(a)}{g(a)^2} [/mm] |
Guten Morgen zusammen, vielleicht kann mir jemand bei der obigen Aufgabe helfen:
In der Vorlesung haben wir definiert:
[mm] D_{v}(f)(a)=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(a+tv)-f(a)}{t} [/mm] heißt Richtungsableitung von f im Punkt a in Richtung v.
Demnach kann ich doch für die Summenregel sagen:
[mm] D_{v}(f+g)(a)
[/mm]
[mm] =\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{(f+g)(a+tv)-(f+g)(a)}{t}
[/mm]
[mm] =\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(a+tv)+g(a+tv)-(f(a)+g(a))}{t}
[/mm]
=...
[mm] =\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(a+tv-f(a)}{t}+\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{g(a+tv-f(a)}{t}
[/mm]
[mm] =D_{v}f(a)+D_{v}g(a)
[/mm]
Gilt ähnliches auch für die Produktregel?
[mm] D_{v}(fg)(a)
[/mm]
[mm] =\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{(fg)(a+tv)-(fg)(a)}{t}
[/mm]
[mm] =\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(a+tv)*g(a+tv)-f(a)*f(g)}{t}
[/mm]
[mm] =\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(a+tv)*g(a+tv)-f(a)*g(a+tv)+f(a)*g(a+tv)-f(a)*f(g)}{t}
[/mm]
[mm] =\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{g(a+tv)*(f(a+tv)-f(a))+f(a)*(g(a+tv)-g(a))}{t}
[/mm]
=...
[mm] =g(a)*D_{v}(f)(a)+f(a)*D_{v}(g)(a)
[/mm]
Analog dazu müsse es doch auch mit der Quotientenregel gehen, oder hab ich da einen großen Denkfehler?
Danke für Eure Antworten und Denkanstöße! 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Do 21.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]D\subset R^n[/mm] offen, [mm]a\in[/mm] D, [mm]v\in R^n,[/mm] und seinen
> f,g:D->R Funktion, sodass die Richtungsableitung [mm]D_{v}f(a)[/mm]
> und [mm]D_{v}g(a)[/mm] existieren. Zeigen Sie, dass die
> Richtungsableitungen die Summen-, Produkt- und
> Quotientenregel wie im eindim. Fall erfüllen, d.h. die
> Richtungsableitungen
> [mm]D_{v}(f+g)(a), D_{v}(fg)(a)[/mm] und [mm]D_{v}(f/g)(a)[/mm] existieren
> und es gilt:
>
> [mm]D_{v}(f+g)(a)=D_{v}(f)(a)+D_{v}(g)(a)[/mm]
>
> [mm]D_{v}(fg)(a)=D_{v}(f)(a)*g(a)+D_{v}(g)(a)*f(a)[/mm]
>
> [mm]D_{v}(f/g)(a) =\bruch{D_{v}(f)(a)*g(a)-D_{v}(g)(a)*f(a)}{g(a)^2}[/mm]
>
> Guten Morgen zusammen, vielleicht kann mir jemand bei der
> obigen Aufgabe helfen:
>
> In der Vorlesung haben wir definiert:
> [mm]D_{v}(f)(a)=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(a+tv)-f(a)}{t}[/mm]
> heißt Richtungsableitung von f im Punkt a in Richtung v.
>
> Demnach kann ich doch für die Summenregel sagen:
>
> [mm]D_{v}(f+g)(a)[/mm]
> [mm]=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{(f+g)(a+tv)-(f+g)(a)}{t}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(a+tv)+g(a+tv)-(f(a)+g(a))}{t}[/mm]
>
> =...
> [mm]=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(a+tv-f(a)}{t}+\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{g(a+tv-f(a)}{t}[/mm]
>
> [mm]=D_{v}f(a)+D_{v}g(a)[/mm]
>
> Gilt ähnliches auch für die Produktregel?
> [mm]D_{v}(fg)(a)[/mm]
> [mm]=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{(fg)(a+tv)-(fg)(a)}{t}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(a+tv)*g(a+tv)-f(a)*f(g)}{t}[/mm]
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> [mm]=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(a+tv)*g(a+tv)-f(a)*g(a+tv)+f(a)*g(a+tv)-f(a)*f(g)}{t}[/mm]
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> [mm]=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{g(a+tv)*(f(a+tv)-f(a))+f(a)*(g(a+tv)-g(a))}{t}[/mm]
>
> =...
> [mm]=g(a)*D_{v}(f)(a)+f(a)*D_{v}(g)(a)[/mm]
>
> Analog dazu müsse es doch auch mit der Quotientenregel
> gehen, oder hab ich da einen großen Denkfehler?
>
> Danke für Eure Antworten und Denkanstöße!
Du hast alles richtig gemacht. Du hättest Dir aber viel Arbeit ersparen können, wenn Du das Folgende beherzigst.
Da D offen ist, gibt es ein r>0 mit: a+tv [mm] \in [/mm] D für alle t [mm] \in [/mm] I:=(-r,r). Definiert man nun die Funktion [mm] \phi:I \to \IR [/mm] durch [mm] \phi(t):=f(a+tv), [/mm] so gilt:
$D_vf(a) $ existiert [mm] \gdw \quad \phi [/mm] ist in t=0 differenzierbar.
In diesem Fall ist dann [mm] D_vf(a)=\phi'(0).
[/mm]
FRED
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