Abhängigkeit zweier Zufallsvar < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Sa 25.05.2013 | | Autor: | Anabella |
| Aufgabe | Zwei Zufallsvariablen X und Y=X² mit den Dichtefunktionen
[mm] f_X(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] im Intervall [-1, 1]
[mm] f_Y(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm] im Intervall (0, 1]
Zeige, dass die beiden Zufallsvariablen nicht unabhängig sind und dass E(XY) = E(X)E(Y) gilt. |
E(X) ist jedenfalls 0 und dann ist auch E(X)E(Y) = 0.
Wie berechne ich aber E(XY) = E(X³) = ?
Damit zwei Zufallsvariablen unabhängig sind, muss gelten:
P(X [mm] \le [/mm] x [mm] \cap [/mm] Y [mm] \le [/mm] y) = P(X [mm] \le [/mm] x)P(Y [mm] \le [/mm] y)
Wie wende ich das hier an? Bzw. zeige, dass es nicht gilt?
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Hallo,
> Zwei Zufallsvariablen X und Y=X² mit den Dichtefunktionen
> [mm]f_X(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] im Intervall [-1, 1]
> [mm]f_Y(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\wurzel{x}}[/mm] im Intervall (0, 1]
> Zeige, dass die beiden Zufallsvariablen nicht unabhängig
> sind und dass E(XY) = E(X)E(Y) gilt.
> E(X) ist jedenfalls 0 und dann ist auch E(X)E(Y) = 0.
> Wie berechne ich aber E(XY) = E(X³) = ?
Du kennst doch sicher folgende Formel: Falls $g(x) $ eine messbare Funktion ist, dann ist
[mm] $E\left(g(X)\right)=\int g(x)\cdot f_{X}(x) \; [/mm] dx$
Was ist in diesem Fall deine Funktion $g(x)$
>
> Damit zwei Zufallsvariablen unabhängig sind, muss gelten:
> P(X [mm]\le[/mm] x [mm]\cap[/mm] Y [mm]\le[/mm] y) = P(X [mm]\le[/mm] x)P(Y [mm]\le[/mm] y)
> Wie wende ich das hier an? Bzw. zeige, dass es nicht gilt?
Versuche $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ und $y [mm] \in [/mm] (0,1]$ zu finden, sodass [mm] $P(X\leq [/mm] x [mm] \cap Y\leq [/mm] y)=0$ ist und [mm] $P\left(X\leq X\right)\cdot [/mm] P [mm] \left(Y \leq Y \right)\not=0$ [/mm] ist.
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Sa 25.05.2013 | | Autor: | Anabella |
Danke für die Antwort!
> Du kennst doch sicher folgende Formel: Falls [mm]g(x)[/mm] eine
> messbare Funktion ist, dann ist
> [mm]E\left(g(X)\right)=\int g(x)\cdot f_{X}(x) \; dx[/mm]
>
> Was ist in diesem Fall deine Funktion [mm]g(x)[/mm]
[mm]x^3[/mm], also [mm]E\left(X^3\right)=\int\limits^{1}_{-1} x^3\cdot f_{X}(x) \; dx[/mm]. Da bekomme ich 0, sollte stimmen.
> Versuche [mm]x \in [-1,1][/mm] und [mm]y \in (0,1][/mm] zu finden, sodass
> [mm]P(X\leq x \cap Y\leq y)=0[/mm] ist und [mm]P\left(X\leq X\right)\cdot P \left(Y \leq Y \right)\not=0[/mm]
> ist.
[mm]P\left(X\leq x\right)[/mm] ist [mm]F_{X}(x)[/mm], aber wie berechnet man [mm]P(X\leq x \cap Y\leq y)[/mm]?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Sa 25.05.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin, m.E. wird's noch einfacher, wenn du $P(X>3/4 [mm] \cap Y\le [/mm] 1/4)$ berechnest ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Sa 25.05.2013 | | Autor: | Anabella |
Das Problem ist: Ich weiß nicht, wie man
> [mm]P(X>3/4 \cap Y\le 1/4)[/mm]
berechnet.
[mm]P(a\leq X\leq b)=\int_a^bf(x) dx[/mm] - nur wie sieht das bei der Vereinigung zweier Mengen aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Sa 25.05.2013 | | Autor: | luis52 |
> Das Problem ist: Ich weiß nicht, wie man
> > [mm]P(X>3/4 \cap Y\le 1/4)[/mm]
> berechnet.
Ausgeschrieben ist [mm]P((X>3/4) \cap (-1/4\le X^2\le 1/4))[/mm] gesucht ...
>
> [mm]P(a\leq X\leq b)=\int_a^bf(x) dx[/mm] - nur wie sieht das bei
> der Vereinigung zweier Mengen aus?
Wieso Vereinigung? Meinst du Schnitt?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Sa 25.05.2013 | | Autor: | Anabella |
> Wieso Vereinigung? Meinst du Schnitt?
Ja, tut mir leid, ich meinte natürlich Schnitt.
> Ausgeschrieben ist [mm]P((X>3/4) \cap (-1/4\le X^2\le 1/4))[/mm]
Vielleicht ist es für dich offensichtlich, aber ich habe keine Ahnung, wie zu dieser Funktion das Integral aussehen müsste.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Sa 25.05.2013 | | Autor: | luis52 |
> > Wieso Vereinigung? Meinst du Schnitt?
> Ja, tut mir leid, ich meinte natürlich Schnitt.
>
> > Ausgeschrieben ist [mm]P((X>3/4) \cap (-1/4\le X^2\le 1/4))[/mm]
> Vielleicht ist es für dich offensichtlich, aber ich habe
> keine Ahnung, wie zu dieser Funktion das Integral aussehen
> müsste.
Du brauchst kein Integral. Es geht so (mit Korrektur):
[mm]P((X>3/4) \cap (X^2\le 1/4))=P((X>3/4) \cap (-1/2\le X\le 1/2))=P(\emptyset)=0[/mm].
Du musst jetzt nur noch bestaetigen:
$P((X>3/4)>0$ und [mm] $P(-1/2\le X\le [/mm] 1/2)>0$.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Sa 25.05.2013 | | Autor: | Anabella |
> Du brauchst kein Integral. Es geht so (mit Korrektur):
> [mm]P((X>3/4) \cap (X^2\le 1/4))=P((X>3/4) \cap (-1/2\le X\le 1/2))=P(\emptyset)=0[/mm].
Okay, danke, jetzt habe ich es verstanden! Das war wirklich offensichtlich...
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