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| Aufgabe | Welche der folgenden sechs Definitionen des Gruppenbegriffes ist korrekt? Geben jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel! "Eine Gruppe ist ein geordnetes Paar [mm] (G,\cdot), [/mm] wobei G eine Menge ist und [mm] \cdot :G\times G\to [/mm] G eine (meist infix oder gar nicht notierte) Abbildung ist derart, dass (ab)c=a(bc) für alle [mm] a,b,a\in [/mm] G gilt und...
(a) [mm] \exists e\in [/mm] G : [mm] ((\forall a\in [/mm] G: ea=a) [mm] \& (\forall a\in G:\exists b\in [/mm] G: ab=e))
(b) bereits gelöst
(c) [mm] $\exists e\in [/mm] G : [mm] ((\forall a\in [/mm] G: ae=a) [mm] \& (\forall a\in G:\exists b\in [/mm] G: ba=e))$
(d und e) bereits gelöst
(f) [mm] \forall a,b\in [/mm] G: [mm] \exists x,y\in [/mm] G: xay=b |
Ich gehe davon aus, dass a,c,f keine ausreichenden Gruppendefinitionen sind.
Ich habe allerdings keinen Schimmer, was ein Gegenbeispiel sein könnte.
Mir ist klar, dass ich eine Menge die o.g. Voraussetzungen (z.B. mit a) erfüllt sind, die aber dennoch keine Gruppe ist.
Das wäre z.B. eine Menge M die a erfüllt, es aber dennoch mindestens ein a,b gibt, mit [mm] ab=e\new [/mm] ba.
Welche Menge aber erfüllt soetwas. Matrizen scheiden aus, da gilt immer [mm] AB=E\Rightarrow [/mm] BA=E. Und die Gruppen, die ich aus [mm] \mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R} [/mm] gewinnen kann auch aus dem gleichen Grund. Permutationsgruppen ebenfalls.
Ich suche also eine Menge mit assoziativer und abgeschlossener zweistelliger Operation mit den Eigenschaften a), c) und f) ohne dass es eine Gruppe ist.
Kennt da jemand was?
Grüße,
tk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Welche Menge aber erfüllt soetwas. Matrizen scheiden aus, da gilt immer $ [mm] AB=E\Rightarrow [/mm] $ BA=E. Und die Gruppen, die ich aus $ [mm] \mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R} [/mm] $ gewinnen kann auch aus dem gleichen Grund. Permutationsgruppen ebenfalls.
Das verstehe ich nun allerdings nicht. Wo suchst du denn ? Du fahndest doch gerade nach einem Gegenbeispiel, da darfst du dich natürlich nicht bei den Gruppen umsehen.
Die Verknüpfung uv = u f.a. u,v [mm] \in [/mm] G ist für irgendwas ein Gegenbeiel. Dann findest du den Rest sicher selbst.
Gruß Sax.
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hm, dann stehe ich auf dem Schlauch, hab mich auch bei Monoiden umgeschaut, aber nicht passendes gefunden.
z.B. [mm] (\mathbb{N},+,0) [/mm] ist klar, da gibts gar keine Inverse, oder
[mm] \left(\Bbb{Q}_+,+,0\right).
[/mm]
Und uv=v f.a. [mm] u,v\in [/mm] G ? Für was kann das ein Gegenbeispiel sein, wenn es in (c) schon gefordert ist?
Ich brauche leider noch weitere Hinweise.
Grüße, tk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 So 24.10.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo tk
Suche ein einfaches Gegenbeispiel zu (a), d.h. mit moeglichst wenigen Elementen. Die Menge muss aus mindestens zwei Elementen bestehen. Und es gibt ein Gegenbeispiel mit 2 Elementen [mm] z.B.$\{a, e\}$. [/mm] Fuer die Verknuepfungstafel kann es ja dann nicht mehr viele Moeglichkeiten geben, da ja $ea=a$ und $ee=e$ gelten muss. Muss man nur noch die Multiplikatione $ae$ und $aa$ definieren. Es darf aber nicht $ae=a$ und $aa=e$ gelten, sonst hat man eine Gruppe.
mfG Moudi
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