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| Aufgabe | Entscheiden Sie, welche der folgenden Mengen abgeschlossen bzw.kompakt sind.
Die Antworten sind kanpp zu begründen.
a) [mm] \{(x,y) \in \IR^2 : x^9 + y^9 \le 25 \} [/mm]
b) [mm] \{(x,y) \in \IR^2 : x^9 + y^9 < 25 \} [/mm]
c) [mm] \{(x,y) \in \IR^2 : x^{10} + y^{10} \le 25 \} [/mm] |
Kann mir jemand helfen, wie ich diese Aufgabe angehen muss? Ich weiß, dass eine kompakte Menge abgeschlossen und beschränkt ist. Ich muss also mit der Abgeschlossenheit anfangen. Nur wie mache ich das? Ich meine, a) und c) sind offensichtlich abgeschlossen, ich weiß nur nicht, wie ich das mathematisch korrekt zeige.
LG fagottator
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Mi 11.08.2010 | | Autor: | abakus |
> Entscheiden Sie, welche der folgenden Mengen abgeschlossen
> bzw.kompakt sind.
> Die Antworten sind kanpp zu begründen.
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> a) [mm]\{(x,y) \in \IR^2 : x^9 + y^9 \le 25 \}[/mm]
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> b) [mm]\{(x,y) \in \IR^2 : x^9 + y^9 < 25 \}[/mm]
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> c) [mm]\{(x,y) \in \IR^2 : x^10 + y^10 \le 25 \}[/mm]
> Kann mir
> jemand helfen, wie ich diese Aufgabe angehen muss? Ich
> weiß, dass eine kompakte Menge abgeschlossen und
> beschränkt ist. Ich muss also mit der Abgeschlossenheit
> anfangen. Nur wie mache ich das? Ich meine, a) und c) sind
> offensichtlich abgeschlossen, ich weiß nur nicht, wie ich
> das mathematisch korrekt zeige.
>
> LG fagottator
Hallo,
nicht so voreilig. Hast du bedacht, dass in a) jeder Paar der Form (a; -a) die Ungleichung einfüllt? Somit hast du nicht (wie bei c)) ein Lösungsgebiet mit endlichen Ausmaßen.
Damit will ich kein Urteil über richtig oder falsch abgeben, aber es ist auf alle Fälle nicht ganz so offensichtlich wie bei c).
Gruß Abakus
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Hallo
> nicht so voreilig. Hast du bedacht, dass in a) jeder Paar
> der Form (a; -a) die Ungleichung einfüllt? Somit hast du
> nicht (wie bei c)) ein Lösungsgebiet mit endlichen
> Ausmaßen.
> Damit will ich kein Urteil über richtig oder falsch
> abgeben, aber es ist auf alle Fälle nicht ganz so
> offensichtlich wie bei c).
> Gruß Abakus
>
Aber in a) steht doch wie in c) [mm] "\le" [/mm] also sind die Mengen doch abgeschlossen, oder nicht? Nur wie schreibe ich das denn jetzt auf?
LG fagottator
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Mi 11.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo
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> > nicht so voreilig. Hast du bedacht, dass in a) jeder Paar
> > der Form (a; -a) die Ungleichung einfüllt? Somit hast du
> > nicht (wie bei c)) ein Lösungsgebiet mit endlichen
> > Ausmaßen.
> > Damit will ich kein Urteil über richtig oder falsch
> > abgeben, aber es ist auf alle Fälle nicht ganz so
> > offensichtlich wie bei c).
> > Gruß Abakus
> >
> Aber in a) steht doch wie in c) [mm]"\le"[/mm] also sind die Mengen
> doch abgeschlossen, oder nicht? Nur wie schreibe ich das
> denn jetzt auf?
>
Tja, was ist "knapp" und taugt als Begründung im Sinne des Aufgabenstellers? Schwierig.
Man könnte anführen, dass in z.B. a) eine äquivalente Umformung [mm] y\le [/mm] f(x) ergebe, wobei der Definitionsbereich von f ganz [mm] \IR [/mm] ist und f selbst stetig ist. Ihr Graph ist also eine Kurve ohne Unterbrechung die [mm] \IR^2 [/mm] in zwei unbeschränkte Teilmengen (unterhalb auf auf dem Graphen sowie oberhalb) zerlegt. Zu einem Punkt [mm] P(x_0,y_0) [/mm] oberhalb des Graphen, kann man um den Punkt [mm] Q(x_0,f(x_0)) [/mm] auf dem Graphen einen Rechteck ziehen, welches den Punkt P nicht enthält (wegen der Stetigkeit). Damit kommt der Graph dem Punkt P auf einem Abschnitt um [mm] x_0 [/mm] herum, nicht beliebig nahe (und außerhalb sowie so nicht mehr). So mit ist der Bereich oberhalb offen und der Andere ist als Komplement abgeschlossen.
LG
gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:54 Do 12.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Entscheiden Sie, welche der folgenden Mengen abgeschlossen
> bzw.kompakt sind.
> Die Antworten sind kanpp zu begründen.
>
> a) [mm]\{(x,y) \in \IR^2 : x^9 + y^9 \le 25 \}[/mm]
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> b) [mm]\{(x,y) \in \IR^2 : x^9 + y^9 < 25 \}[/mm]
>
> c) [mm]\{(x,y) \in \IR^2 : x^{10} + y^{10} \le 25 \}[/mm]
> Kann mir
> jemand helfen, wie ich diese Aufgabe angehen muss? Ich
> weiß, dass eine kompakte Menge abgeschlossen und
> beschränkt ist. Ich muss also mit der Abgeschlossenheit
> anfangen. Nur wie mache ich das? Ich meine, a) und c) sind
> offensichtlich abgeschlossen, ich weiß nur nicht, wie ich
> das mathematisch korrekt zeige.
>
> LG fagottator
erstens: Es gibt viele Charakterisierungen der Kompaktheit (das geht bishin zu einer topologischen Definition: Jede offene Überdeckung enthält eine endliche Teilüberdeckung). Bei solchen Aufgaben kann man auch mal nach einer mit "Teilfolgen" suchen... Ist auf jeden Fall mal "witzig", damit zu arbeiten. Aber zurück zur Aufgabe.
Beachte bitte, dass Du oben nicht nur meinst, dass eine kompakte Menge stets abgeschlossen und beschränkt ist, sondern dass Du ausnutzen willst, dass eine abgeschlossene und beschränkte Menge auch kompakt ist. Dies gilt nicht immer, durchaus aber im [mm] $\IR^n$ [/mm] (oder [mm] $\IC^n$), [/mm] siehe auch ![[]](/images/popup.gif) Heine-Borel. (Mehr über Kompaktheit findest Du auch hier oder hier.)
Bei Deinen Aufgaben würde ich sagen:
Die Beschränktheit der Menge in c) ist offensichtlich. (Für Dich auch? Man kann es sogar elementar überlegen: Bei der Menge von c) ist [mm] $|x|^{10}\le [/mm] 25$ und gleiches auch für [mm] $|y|\,.$ [/mm] Also [mm] $\sqrt{x^2+y^2} \le \sqrt{25^{2/10}+25^{2/10}} [/mm] < [mm] \infty\,,$ [/mm] wegen der Monotonie der Wurzel. Alternativ kann man auch das Argument bringen, dass alle Normen auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] äquivalent sind.)
Abakus hat ein Argument gebracht, dass die Mengen in a) und b) nicht beschränkt (und damit wegen Heine-Borel insbesondere nicht kompakt) sein können.
Zur Abgeschlossenheit:
Da [mm] $\alpha \mapsto \alpha^n\,,$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] alles stetige Funktionen sind, und auch
$$+: [mm] \IR \times \IR \to \IR$$
[/mm]
stetig ist, ist die Abgeschlossenheit der Mengen in a) und c) offensichtlich.
Ein wenig ausführlicher z.B. kannst Du das auch so notieren:
Sei [mm] $M_a$ [/mm] die Menge in a) und sei [mm] $(a_n)_n\equiv((x_n,y_n))_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $M_a\,,$ [/mm] die gegen ein $a=(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] konvergiert. Wegen [mm] $\|a_n-a\| \to [/mm] 0$ folgt nach Bemerkung 8.17, dass [mm] $x_n \to [/mm] x$ und [mm] $y_n \to y\,.$
[/mm]
Die Funktion $(x,y) [mm] \mapsto x^9+y^9$ [/mm] ist stetig aus oben genannten Gründen (und weil Kompositionen stetiger Funktionen stetig sind) (genauer könnte man hier vll. sogar mit Halbstetigkeit argumentieren), so dass aus [mm] $x_n^9+y_n^9 \le [/mm] 25$ auch [mm] $\lim_{n \to \infty}x_n^9+y_n^9=x+y \le [/mm] 25$ folgt. Also $(x,y) [mm] \in M_a\,,$ [/mm] und weil wir eine beliebige Folge in [mm] $M_a$ [/mm] gewählt hatten, die in [mm] $\IR^2$ [/mm] konvergiert, sehen wir, dass der Grenzwert einer jeden solchen wieder in [mm] $M_a$ [/mm] liegt. Also ist [mm] $M_a$ [/mm] abgeschlossen.
Analog geht das bei c).
Fazit bisher:
a) unbeschränkt, aber abgeschlossen (natürlich somit als nicht kompakt erkannt)
b) bisher als unbeschränkt erkannt (damit Wissen: nicht kompakt) - wegen des Spaßes kümmern wir uns aber gleich trotzdem noch um die Frage nach der Abgeschlossenheit
c) sowohl abgeschlossen als auch beschränkt [mm] ($\to$ [/mm] kompakt)
zu b):
Setze [mm] $y_n=0$ [/mm] für alle [mm] $n\,,$ [/mm] und betrachte [mm] $x_n:=\sqrt[9]{25-1/n}\,.$ [/mm] Dann sind [mm] $(x_n,y_n)$ [/mm] Elemente der Menge von [mm] $b)\,,$ [/mm] und die Stetigkeit von $x [mm] \mapsto \sqrt[9]{x}$ [/mm] zeigt, dass [mm] $\lim_{n \to \infty}(x_n,y_n)=(\sqrt[9]{25},0)$ [/mm] ist, aber letztgenannter Punkt des [mm] $\IR^2$ [/mm] nicht in der Menge von b) liegen kann.
Besten Gruß,
Marcel
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