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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 So 12.01.2014 | | Autor: | Twistor |
| Aufgabe | Für eine Menge M [mm] \subseteq \IR^n [/mm] sei [mm] \overline{M} [/mm] die Menge der Punkte x [mm] \in \IR^n, [/mm] für die gilt: Für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ist die Menge
[mm] B_\varepsilon [/mm] (x) [mm] \cap [/mm] M nicht leer. [mm] \overline{M} [/mm] heißt der topologische Abschluss von M bezüglich der euklidischen Topologie. Zeigen Sie für beliebige M [mm] \subseteq \IR^n:
[/mm]
a) [mm] \overline{M} [/mm] ist abgeschlossen
b) Ist A [mm] \subseteq \IR^n [/mm] abgeschlossen mit M [mm] \subseteq [/mm] A, so gilt [mm] \overline{M} \subseteq [/mm] A. |
Hallo Leute
Folgende Aufgabe muss ich lösen.
Leider weiß ich nicht, wie ich das anstellen soll, habe nur eine kurze Passage zu Abgeschlossenheit in meinem Skript.
So haben wir Abgeschlossenheit definiert:
A [mm] \subseteq \IR^n [/mm] heißt abgeschlossen, wenn folgende Implikation gilt:
a = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] mit [mm] x_n \in [/mm] A Rightarrow a [mm] \in [/mm] A
Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand einen Tipp zu dieser Aufgabe geben könnte.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Mo 13.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Für eine Menge M [mm]\subseteq \IR^n[/mm] sei [mm]\overline{M}[/mm] die
> Menge der Punkte x [mm]\in \IR^n,[/mm] für die gilt: Für alle
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ist die Menge
> [mm]B_\varepsilon[/mm] (x) [mm]\cap[/mm] M nicht leer. [mm]\overline{M}[/mm] heißt
> der topologische Abschluss von M bezüglich der
> euklidischen Topologie. Zeigen Sie für beliebige M
> [mm]\subseteq \IR^n:[/mm]
>
> a) [mm]\overline{M}[/mm] ist abgeschlossen
>
> b) Ist A [mm]\subseteq \IR^n[/mm] abgeschlossen mit M [mm]\subseteq[/mm] A,
> so gilt [mm]\overline{M} \subseteq[/mm] A.
> Hallo Leute
>
> Folgende Aufgabe muss ich lösen.
>
> Leider weiß ich nicht, wie ich das anstellen soll, habe
> nur eine kurze Passage zu Abgeschlossenheit in meinem
> Skript.
>
> So haben wir Abgeschlossenheit definiert:
>
> A [mm]\subseteq \IR^n[/mm] heißt abgeschlossen, wenn folgende
> Implikation gilt:
>
> a = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] mit [mm]x_n \in[/mm] A
> Rightarrow a [mm]\in[/mm] A
>
> Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand einen Tipp zu dieser
> Aufgabe geben könnte.
>
> Vielen Dank
>
>
Zu a):
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Folge in [mm] \overline{M} [/mm] und a ihr Limes.
Nimm an , es wäre a [mm] \notin \overline{M}. [/mm] Dann gibt es ein [mm] \delta [/mm] > 0 mit
(1) [mm] B_{\delta}(a) \cap [/mm] M = [mm] \emptyset.
[/mm]
Da [mm] x_n \to [/mm] a , existiert ein m [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] x_m \in B_{\delta}(a). [/mm]
Wähle nun [mm] \varepsilon [/mm] > 0 so, dass
(2) [mm] B_{\varepsilon}(x_m) \subseteq B_{\delta}(a).
[/mm]
(Warum geht das ?)
Wegen [mm] x_m \in \overline{M}, [/mm] ist
(3) [mm] B_{\varepsilon}(x_m) \cap [/mm] M [mm] \ne \emptyset.
[/mm]
Mit (1), (2) und (3) solltest Du einen Widerspruch sehen. Siehst Du ihn ?
Zu b):
Sei x [mm] \in \overline{M}. [/mm] Nimm an, es wäre x [mm] \notin [/mm] A, also x [mm] \in \IR^n \setminus [/mm] A.
[mm] \IR^n \setminus [/mm] A ist offen, also gibt es ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 mit:
[mm] B_{\varepsilon}(x) \subseteq \IR^n \setminus [/mm] A..
Siehst Du den Widerspruch zu x [mm] \in \overline{M} [/mm] ?
FRED
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