Abgeschlossenheit von Mengen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Wenn [mm] A\subseteq \IR^n [/mm] abgeschlossen ist, dann is auch [mm] B=\{y\in \IR^n \mid \exists x\in A: x\le y\} [/mm] abgeschlossen, wobei [mm] \le [/mm] komponentenweise definiert ist. |
Mein Ansatz sah/sieht so aus, dass ich zunaechst eine alternative Darstellung benutze, indem ich sage [mm] x\le [/mm] y gdw. ex. [mm] \Delta\in\IR^n_{\ge 0} [/mm] mit [mm] y=x+\Delta. [/mm] Was das Weitere angeht, stehe ich dann aber schon ziemlich auf dem Schlauch. Wenn ich mir eine konvergente Folge [mm] y_n \rightarrow [/mm] y, [mm] y\rightarrow \infty [/mm] aus B hernehme, dann sehe ich nicht, wie ich die Abgeschlossenheit von A ausnutzen kann. Zwar weiss ich, dass jedes [mm] y_n [/mm] ein entsprechendes Paar [mm] x_n, \Delta_n [/mm] mit [mm] x_n\in [/mm] A, [mm] \Delta_n\ge [/mm] 0 und [mm] y_n=x_n+\Delta_n [/mm] hat, aber der Rest erschliesst sich mir nicht.
Der Einfachheit halber habe ich es auch schon versucht, indem ich zusaetzlich zunaechst sage, dass A konvex ist, so dass ich die [mm] x_n [/mm] eindeutig mit minimalem Abstand zu [mm] y_n [/mm] waehlen kann, aber auch das hat mir nichts gebracht.
Dabei scheint die Aufgabenstellung doch einfach. Ich bin fuer jeden sinnvollen Denkanstoff dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Helbig |
Fidibus,
fang mal mit $ n=1 $ an, und bestimme $ B $ getrennt nach den Fällen
$ [mm] A=\emptyset$
[/mm]
$ [mm] A\ne \emptyset$ [/mm] und $A$ hat keine untere Schranke
$ [mm] A\ne\emptyset$ [/mm] und $A$ hat eine untere Schranke.
Reicht das schon?
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:31 Di 24.01.2012 | | Autor: | fidibus89 |
Danke. Habe es eingesehen. ;)
|
|
|
|
