Abgeschlossenheit einer Menge < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei M eine Teilmenge des euklidischen Raumes [mm] R^m, [/mm] m [mm] \in \IR. [/mm] Zeigen sie, dass M genau dann abgeschlossen ist, wenn gilt [mm] \partial [/mm] M [mm] \subset [/mm] M |
Hallo,
[mm] \partial [/mm] M ist ja die Mege aller Randpunkte und die Behauptung ist, eine Menge ist abgeschlossen, genau dann, wenn alle Randpunkte in der Menge liegen.
Jetzt ist ein Randpunkt definiert als Punkte [mm] x_{0}, [/mm] zu dem es in jeder [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung [mm] (B_{\varepsilon}(x_{0})=\{x \in U: ||x-x_{0}||<\varepsilon\}) [/mm] ein Punkt in M und ein Punkt U nicht in M liegt.
Wie gehe ich da nun an einen Beweis ran?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 So 09.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Machen wir mal eine Richtung:
Sei M abgeschlossen und [mm] x_0 \in \partial [/mm] M.
Ist n [mm] \in \IN, [/mm] so gibt es ein [mm] x_n [/mm] in M mit: [mm] x_n \in B_{1/n}(x_0)
[/mm]
So erhalten wir eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in M mit: [mm] $||x_n-x_0||<1/n$
[/mm]
[mm] (x_n) [/mm] konvergiert also gegen [mm] x_0. [/mm] Da M abg. ist , folgt [mm] x_0 \in [/mm] M.
FRED
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Einfach gesagt, ist die [mm] „\Rightarrow“ [/mm] Richtung des Beweises doch:
Es gibt eine Teilfolge, die gegen ein x0 [mm] \subset \partial [/mm] M konvergiert (Mathematische Begründung??)
Also ist x0 ein Häfungspunkt und nach Voraussetzung liegt jeder Häufungspunkt von M in M also [mm] \partial [/mm] M [mm] \subset [/mm] M
Oder?
Die Rückrichtung [mm] „\Leftarrow“
[/mm]
Voraussetzung: [mm] \partial [/mm] M [mm] \subset [/mm] M
Wie muss ich vorgehen um daraus zu folgern, dass M abgeschlossen ist.
M abgeschlossen bedeutet doch, dass jeder Häufungspunkt von M in M liegt. Wie folgt das aus [mm] \partial [/mm] M [mm] \subset [/mm] M?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Einfach gesagt, ist die [mm]„\Rightarrow“[/mm] Richtung des
> Beweises doch:
> Es gibt eine Teilfolge, die gegen ein x0 [mm]\subset \partial[/mm]
> M konvergiert (Mathematische Begründung??)
> Also ist x0 ein Häfungspunkt und nach Voraussetzung liegt
> jeder Häufungspunkt von M in M also [mm]\partial[/mm] M [mm]\subset[/mm] M
Die mathematische Begründung hat Fred eigentlich in seinem letzten Beitrag sehr genau beschrieben. Schau dir doch das mal richtig an.
>
> Die Rückrichtung [mm]„\Leftarrow“[/mm]
> Voraussetzung: [mm]\partial[/mm] M [mm]\subset[/mm] M
> Wie muss ich vorgehen um daraus zu folgern, dass M
> abgeschlossen ist.
> M abgeschlossen bedeutet doch, dass jeder Häufungspunkt
> von M in M liegt. Wie folgt das aus [mm]\partial[/mm] M [mm]\subset[/mm] M?
Schau dir mal das Komplement von [mm] $M\:$ [/mm] an. Eine Menge im [mm] $\IR^n$ [/mm] ist genau dann abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.
Sei $x [mm] \in M^c=\IR^n\backslash{M} \Rightarrow$ [/mm] da [mm] $\partial{M^c} [/mm] = [mm] \partial{M}$ [/mm] und [mm] $M^c$ [/mm] keine Randpunkte enthält, gibt es also eine Umgebung [mm] $B_\epsilon(x)$ [/mm] die nur Punkte aus [mm] $M^c$ [/mm] enthält, sonst wäre [mm] $x\:$ [/mm] ja Randpunkt. Damit ist also [mm] $M^c$ [/mm] offen und daher [mm] $M\:$ [/mm] abgeschlossen.
LG Lippel
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Danke für die Antwort, aber ist diese Richtung denn nur derart zu zeigen, dass man Voraussetzt, dass das Komplement offen ist?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:19 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Danke für die Antwort, aber ist diese Richtung denn nur
> derart zu zeigen, dass man Voraussetzt, dass das Komplement
> offen ist?
ich setzte das nicht voraus, sondern zeige es!
Andere Möglichkeit:
Angenommen M nicht abgeschlossen, dann gibt es einen Häufungspunkt x von M, der nicht in M liegt [mm] $\Rightarrow$ [/mm] da x HP existiert eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN} \subset [/mm] M$, die gegen x konvergiert, daher liegt in jeder [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von x mind. ein (oder sogar unendlich viele) der [mm] $x_n \in [/mm] M$. Daher ist x Randpunkt von M und liegt damit nach Voraussetzung in M im Widerspruch zur Annahme oben. Also ist M abeschlossen.
LG Lippel
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