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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Mo 01.07.2013 | | Autor: | hula |
Hallöchen
ich habe einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum mit Mass $P$. Nun indentifiziere ich den Raum aller Zufallsvariablen mit [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] mittels [mm] $X(\omega_i):=x_i$ [/mm] für $X$ eine Zufallsvariable. Sei $A$ die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmasse $R$, die absolut stetig bzgl. $P$ sind. Dann kann ich $A$ mit [mm] $\Delta^n$ [/mm] identifizieren, wobei [mm] $\Delta^n$ [/mm] der Einheitssimplex im [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] darstellt. Ich habe nun eine Funktion $h$ vom Raum aller Zufallsvariablen nach [mm] $\mathbb{R}$. [/mm] Ich konnte zeigen, dass diese konvex ist. Da ich nun diese Identifizierung gemacht habe, weiss ich, dass $h$ stetig ist. (in [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] ist jede konvexe Funktion stetig. Daraus sollte nun folgen, dass die Menge [mm] $B:=\{R\in A:\forall X, E_R[X]\le h(R)\}$ [/mm] abgeschlossen ist. Wobei die $X$ wieder Zufallsvariablen sind. Wieso gilt dies genau?
Dankeschööön für die HIlfe!
hula
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Hiho,
> Dann kann ich [mm]A[/mm] mit [mm]\Delta^n[/mm] identifizieren, wobei [mm]\Delta^n[/mm] der Einheitssimplex im [mm]\mathbb{R}^n[/mm] darstellt.
Das stimmt nur, wenn P>0 gilt.
Das können wir oBdA aber annehmen, warum?
> Daraus sollte nun folgen, dass die Menge [mm]B:=\{R\in A:\forall X, E_R[X]\le h(R)\}[/mm] abgeschlossen ist.
mit [mm] $r_i [/mm] = [mm] R[\{\omega_i\}]$ [/mm] gilt [mm] $E_R[X] [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^n x_i*r_i$
[/mm]
Nun kannst du direkt zeigen, dass für [mm] $R_k \to [/mm] R$ mit [mm] $R_k \in [/mm] B$ sofort [mm] $R\in [/mm] B$ gilt.
Das ist einfaches nachrechnen und ausnutzen von Grenzwerteigenschaften.
Gruß,
Gono.
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