Abgeschlossenheit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
folgende kleine Aufgabe: X ist ein normierter Vektorraum und A, B [mm] \subseteq [/mm] X. Man zeige:
[mm] \overline{A \cup B} [/mm] = [mm] \overline{A} \cup \overline{B}
[/mm]
Die Musterlösung sieht so aus:
[mm] "\subseteq" [/mm] Sei x [mm] \in \overline{A \cup B} \Rightarrow \exits (x_n)_{n \in \IN} \subset [/mm] A [mm] \cup [/mm] B : [mm] x_n \to [/mm] x (n [mm] \to \infty).
[/mm]
Eine Teilfolge [mm] (x_{n_l}) [/mm] von [mm] (x_n) [/mm] liegt ganz in A oder B.
[mm] x_{n_l} \to [/mm] x (l [mm] \to [/mm] infty), damit x [mm] \in \overline{A} \cup \overline{B}.
[/mm]
Die Rückrichtung wurde ähnlich gelöst.
Frage: Wieso existiert die Folge [mm] (x_n) [/mm] überhaupt?
Kann man das vielleicht auf die Charakterisierung der Abgeschlossenheit zurückführen? Bei uns wurde eine abgeschlossene Menge wie folgt charakterisiert:
[mm] \overline{M} [/mm] ist die kleinste in X abgeschlossene Obermenge von M. Die Menge M ist genau dann in X abgeschlossen wenn M = [mm] \overline{M}.
[/mm]
[mm] \overline{M} [/mm] = [mm] \{ x \in X : \exists x_n \in M mit x_n \to x (n \to \infty)\}
[/mm]
[mm] \overline{M} [/mm] besteht also aus allen x [mm] \in [/mm] X für die eine Folge [mm] (x_n) [/mm] existiert deren Folgenglieder alle in M liegen und die gegen x konvergiert. Bedeutet ja eigentlich, dass x auch in M liegen muss - oder? Denn x ist ja auch ein Folgenglied von [mm] x_n. [/mm] Oder?
Frage:
Wieso gilt, dass eine Teilfolge [mm] (x_{n_l}) [/mm] von [mm] (x_n) [/mm] ganz in A oder B liegt?
Das verstehe ich absolut nicht...
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> folgende kleine Aufgabe: X ist ein normierter Vektorraum
> und A, B [mm]\subseteq[/mm] X. Man zeige:
>
> [mm]\overline{A \cup B}[/mm] = [mm]\overline{A} \cup \overline{B}[/mm]
>
> Die Musterlösung sieht so aus:
>
> [mm]"\subseteq"[/mm] Sei x [mm]\in \overline{A \cup B} \Rightarrow \exits (x_n)_{n \in \IN} \subset[/mm]
> A [mm]\cup[/mm] B : [mm]x_n \to[/mm] x (n [mm]\to \infty).[/mm]
>
> Eine Teilfolge [mm](x_{n_l})[/mm] von [mm](x_n)[/mm] liegt ganz in A oder B.
>
> [mm]x_{n_l} \to[/mm] x (l [mm]\to[/mm] infty), damit x [mm]\in \overline{A} \cup \overline{B}.[/mm]
>
> Die Rückrichtung wurde ähnlich gelöst.
>
> Frage: Wieso existiert die Folge [mm](x_n)[/mm] überhaupt?
Wenn du dir irgendein x ansiehst und keine solche Folge findest, gehört x nicht in [mm] \overline{A}. [/mm] Also musst du nicht fragen, wieso solch eine Folge existiert, sondern nur feststellen, ob. Rest s. unten.
> Kann man das vielleicht auf die Charakterisierung der
> Abgeschlossenheit zurückführen? Bei uns wurde eine
> abgeschlossene Menge wie folgt charakterisiert:
>
> [mm]\overline{M}[/mm] ist die kleinste in X abgeschlossene Obermenge
> von M. Die Menge M ist genau dann in X abgeschlossen wenn M
> = [mm]\overline{M}.[/mm]
>
> [mm]\overline{M}[/mm] = [mm]\{ x \in X : \exists x_n \in M mit x_n \to x (n \to \infty)\}[/mm]
>
> [mm]\overline{M}[/mm] besteht also aus allen x [mm]\in[/mm] X für die eine
> Folge [mm](x_n)[/mm] existiert deren Folgenglieder alle in M liegen
> und die gegen x konvergiert. Bedeutet ja eigentlich, dass x
> auch in M liegen muss - oder? Denn x ist ja auch ein
> Folgenglied von [mm]x_n.[/mm] Oder?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Erstens: alle [mm] x\in [/mm] A gehören zu [mm] \overline{A}, [/mm] denn die Folge x,x,x,x,... liegt ganz in A und konvergiert gegen x.
Aber zweitens: Betrachte z.B. alle Vektoren (a|b) mit [mm] a,b\in [/mm] ]0|1[ (offenes Intervall ohne 0 und 1). Dann ist z.B. [mm] (0|0)\notin [/mm] A, aber [mm] x_n=(1/n|1/n) \in [/mm] A und lim [mm] x_n=(0,0), [/mm] so dass [mm] (0|0)\in \overline{A}, [/mm] obwohl [mm] (0|0)\notin [/mm] A.
Z.B. (-1|0) ist aber [mm] \notin \overline{A}, [/mm] weil du für die erste Komponente keine Folge findest, die aus ]0|1[ ist und gegen -1 konvergiert.
Es gilt immer [mm] A\subseteq\overline{A}, [/mm] die Umkehrung nicht immer.
>
> Frage:
>
> Wieso gilt, dass eine Teilfolge [mm](x_{n_l})[/mm] von [mm](x_n)[/mm] ganz in
> A oder B liegt?
>
> Das verstehe ich absolut nicht...
>
>
Die betrachtete Folge liegt ja ganz in A [mm] \cup [/mm] B. Sie hat unendlich viele Glieder. Entweder wechseln diese - ggf. unregelmäßig - immer mal wieder die Menge A und B, springen also immer mal wieder zur anderen über, oder ab irgendeinem Index verbleibt die Folge ganz in A oder ganz in B. (Beispiel: nimm eine unendliche Folge mit durchgekürzten Brüchen. Entweder kommen bis unendlich immer mal wieder gerade und ungerade Nenner vor, oder ab irgendwann nur gerade oder nur ungerade).
Im ersten Fall ("abwechselnd") betrachtest du nur diejenigen Folgeglieder, die (auch) in A sind. Die, die nur in B sind, wirfst du raus. Dadurch bekommst du eine neue unendliche Folge, die ganz in A liegt (die besagte Teilfolge). Sie konvergiert aber - wie die komplette Folge - gegen x, so dass [mm] x\in \overline{A} [/mm] ist. Liegen ab irgendwann alle Elemente in A, verfährst du genauso. Liegen ab irgendwann alle Elemente in B, nimmst du diese und stellst damit fest, dass [mm] x\in \overline{B}. [/mm] Also ist [mm] x\in \overline{A} [/mm] oder [mm] x\in \overline{B} [/mm] und damit [mm] x\in \overline{A}\cup \overline{B}.
[/mm]
|
|
|
|
