Abgeschlossene Operatoren < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi,
auf Wikipedia habe ich gelesen, dass die abgeschlossenen Operatoren eine große Klasse der unbeschränkten Operatoren darstellen.
Aufgrund der Definition eines abgeschlossenen Operators A: D(A) [mm] \to [/mm] X, mit [mm] D(A)\subset [/mm] X:
[mm] x_n \in [/mm] D(A) [mm] \to [/mm] x
[mm] Ax_n \to [/mm] y
[mm] \Rightarrow x\in [/mm] D(A), Ax=y
dachte ich, dass jeder beschränkter Operator abgeschlossen ist und die abgeschlossenen nur eine schwächere Bedingung als die stetigen (beschränkten) besitzen.
Die Definition der Beschränktheit lautet ja...
mit [mm] x_n \to [/mm] x und [mm] x\in [/mm] D(A) folgt: [mm] Ax_n \to [/mm] y
Wenn nun abgeschlossene Operatoren unbeschränkte Operatoren sind, gibt es dann überhaupt einen Zusammhang zwischen einem beschränkten und einem abgeschlossenen Operator?
Und wenn es den nicht gibt, welche Aussage kann man dann über die Resolventenmenge und das Spektrum eines beschränkten Operators machen? Beide Mengen "können für abgeschlossene Operatoren definiert werden" (wikipedia). Bedeutet das, für beschränkte können beide nicht definiert werden? Wenn nicht, warum nicht?
Grüße und danke schon mal
|
|
| |
|
Hi,
> Hi,
>
> auf Wikipedia habe ich gelesen, dass die abgeschlossenen
> Operatoren eine große Klasse der unbeschränkten Operatoren
> darstellen.
>
> Aufgrund der Definition eines abgeschlossenen Operators A:
> D(A) [mm]\to[/mm] X, mit [mm]D(A)\subset[/mm] X:
> [mm]x_n \in[/mm] D(A) [mm]\to[/mm] x
> [mm]Ax_n \to[/mm] y
> [mm]\Rightarrow x\in[/mm] D(A), Ax=y
>
> dachte ich, dass jeder beschränkter Operator abgeschlossen
> ist und die abgeschlossenen nur eine schwächere Bedingung
> als die stetigen (beschränkten) besitzen.
>
> Die Definition der Beschränktheit lautet ja...
> mit [mm]x_n \to[/mm] x und [mm]x\in[/mm] D(A) folgt: [mm]Ax_n \to[/mm] y
>
> Wenn nun abgeschlossene Operatoren unbeschränkte Operatoren
> sind, gibt es dann überhaupt einen Zusammhang zwischen
> einem beschränkten und einem abgeschlossenen Operator?
>
> Und wenn es den nicht gibt, welche Aussage kann man dann
> über die Resolventenmenge und das Spektrum eines
> beschränkten Operators machen? Beide Mengen "können für
> abgeschlossene Operatoren definiert werden" (wikipedia).
> Bedeutet das, für beschränkte können beide nicht definiert
> werden? Wenn nicht, warum nicht?
>
ich glaube, du verstehst da etwas falsch... in der tat sind beschraenkte lineare operatoren, die auf ganz X definiert sind, auch abgeschlossen. (Quelle: http://planetmath.org/encyclopedia/ClosedOperator.html) Beschaeftigt man sich hauptsaechlich mit stetigen (also beschraenkten) operatoren, braucht man also den begriff der abgeschlossenheit nicht.
Hat man allerdings mit unstetigen operatoren zu tun (so wie die meisten differential-operatoren), gibt einem die abgeschlossenheit eine gewisse art von stetigkeit, die es erlaubt, begriffe zu definieren (wie das spektrum), die a priori erstmal nur fuer stetige operatoren erklaert sind.
Fuer stetige Ops. ist das spektrum also natuerlich definiert.
Hoffe, das ist ein bisschen klarer geworden.
gruss
matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:16 Di 26.02.2008 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
danke für die Antwort. Das hilft mir in der Tat sehr viel weiter.
|
|
|
|
