Abgeschlossene+kompakte Mengen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 So 01.03.2009 | | Autor: | ronja33 |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
a) Eine Menge A [mm] \subseteq \IC [/mm] ist genau dann abgeschlossen, wenn gilt: Wenn [mm] (a_{n}) [/mm] eine Folge in A ist, die gegen ein a [mm] \in \IC [/mm] konvergiert, gilt a [mm] \in [/mm] A.
b) Es seien A [mm] \subseteq \IC [/mm] kompakt und f: A [mm] \to \IC [/mm] eine stetige Abbildung, dann ist f(A) kompakt. |
Hallo,
dies waren zwei Propositionen in unserer Vorlesung, die es nun zu beweisen gilt. Leider habe ich keine Idee, wie ich das machen könnte ;-(
Muss ich bei a) zeigen, dass [mm] \IC [/mm] \ A offen ist? und bei b), dass jede Folge in A eine Teilfolge enthält, die gegen einen Punkt aus A konvergiert?
Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 So 01.03.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Beweisen Sie:
> a) Eine Menge A [mm]\subseteq \IC[/mm] ist genau dann
> abgeschlossen, wenn gilt: Wenn [mm](a_{n})[/mm] eine Folge in A ist,
> die gegen ein a [mm]\in \IC[/mm] konvergiert, gilt a [mm]\in[/mm] A.
> b) Es seien A [mm]\subseteq \IC[/mm] kompakt und f: A [mm]\to \IC[/mm] eine
> stetige Abbildung, dann ist f(A) kompakt.
> Hallo,
>
> dies waren zwei Propositionen in unserer Vorlesung, die es
> nun zu beweisen gilt. Leider habe ich keine Idee, wie ich
> das machen könnte ;-(
>
> Muss ich bei a) zeigen, dass [mm]\IC[/mm] \ A offen ist? und bei b),
> dass jede Folge in A eine Teilfolge enthält, die gegen
> einen Punkt aus A konvergiert?
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Zu a). Ich gehe mal davon aus, dass ihr "abgeschlossen" definiert habt als "das Komplement offen".
Dann ist deine Idee schon mal richtig. Vergiss aber nicht, dass du beide Richtungen zeigen musst.
Zu b). Dass das für A gilt ist ja schon vorgegeben. Du hast dich wahrscheinlich nur verschrieben und meintest f(A).
Hier würde ich lieber mit der Überdeckungskompaktheit arbeiten. Gib dir eine beliebige offenen Überdeckung von f(A) vor und führe das mit Hilfe der Stetigkeit von f auf A zurück.
Hierfür brauchst du die topologische Charakterisierung der Stetigkeit von Funktionen, also "Urbilder offener Mengen sind offen". Ich hoffe das hattet ihr schon.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 So 01.03.2009 | | Autor: | ronja33 |
Leider hatten wir "Überdeckungskompaktheit" in der Vorlesung noch nicht behandelt. Gibt es auch noch eine andere Möglichkeit, das zu beweisen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 So 01.03.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Leider hatten wir "Überdeckungskompaktheit" in der
> Vorlesung noch nicht behandelt. Gibt es auch noch eine
> andere Möglichkeit, das zu beweisen?
Ihr hattet also "kompakt" definiert als "Jede Folge besitzt eine konvergente Teilfolge"? Das nennt man auch "folgenkompakt", nur zur Information.
Aber dann geht es eigentlich genauso.
Gib dir eine Folge in f(A) vor und betrachte die Urbilder der Folgenglieder unter f. Beachte, dass f nicht injektiv sein muss. Dann nutze die Kompaktheit von A, sowie die Stetigkeit von f aus.
|
|
|
|
