Abg. Unterraum von C[0,1] < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] X:=\{f\in C[0,1]|f(0)=0\} [/mm] und [mm] Y:=\{f\in X|\int f=0\}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass Y ein abgeschlossener Unterraum ist.
b) Zeigen Sie, dass es kein $ [mm] f\in [/mm] X $ gibt mit der Eigenschaft, dass ||f||=1 und $ [mm] ||f-g||\ge1 \forall g\in [/mm] Y $ |
Hallo!
Also, wie zeig ich erstmal das mit der Abgeschlossenheit? Zeigen, dass das Komplement offen ist? Oder kann man einfach sagen, dass das abgeschlossen ist, weil [mm] \{0\} [/mm] abgeschlossen ist in [mm] \|R [/mm] und die Abbildung $ [mm] f\mapsto\int [/mm] f $ stetig ist?
Wie findet man bei b) so ein g, sodass das kleiner ist als 1? Mmmh....irgendwo wird der maximale Abstand von g und f ja angenommen, da das kompakt ist, dann koennte man g stauchen und wenn sie an der Stelle das gleiche Vorzeichen haben, wuerde es doch hinhauen, wenn aber nicht...kann man dann -g nehmen und es klappt damit? Oder waere dann der Abstand woanders maximal?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:00 Di 17.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Y ist abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] für jede konvergente Folge [mm] (f_n) [/mm] in Y gehört auch ihr Limes zu Y.
Nimm also eine konvergente Folge [mm] (f_n) [/mm] aus Y her. [mm] (f_n) [/mm] konvergiere gegen f
Beachte: Konvergenz bedeutet Konvergenz bezügl. der Norm ||*|| ( = Maximumsnorm), also gleichmäßige Konvergenz auf [0,1]
[mm] (f_n) [/mm] konvergiert also gleichmäßig auf [0,1] gegen f.
Dann ist [mm] \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}= [/mm] ??? für jedes n
Was treibt andererseits die Folge [mm] (\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}) [/mm] in Bezug auf [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] ?
FRED
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