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| Aufgabe | | Es sei G ein Gruppe mit der sonderbaren Eigenschaft, dass für jedes x aus G die Gleichung [mm] x^{2}=1 [/mm] gilt. Man beweise, dass G abelsch ist. |
Hi, also ich weiss dass ich jetzt ja die Kommutivität zeigen muss, find aber nicht so richtig nen Ansatz, kann mir viellicht jemand nen Denkanstoß geben??
mfg Piccolo
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Hallo piccolo1986,
> Es sei G ein Gruppe mit der sonderbaren Eigenschaft, dass
> für jedes x aus G die Gleichung [mm]x^{2}=1[/mm] gilt. Man beweise,
> dass G abelsch ist.
> Hi, also ich weiss dass ich jetzt ja die Kommutivität
> zeigen muss, find aber nicht so richtig nen Ansatz, kann
> mir viellicht jemand nen Denkanstoß geben??
Mache dir klar, was die Bedingung [mm] $x^2=1$ [/mm] bedeutet:
Sie bedeutet, dass jedes Element von $G$ selbstinvers ist.
Also [mm] $x=x^{-1}$
[/mm]
Denn multipliziertst du in [mm] $x^2=x\circ [/mm] x=1$ mal das Inverse von $x$, also [mm] $\red{x^{-1}}$, [/mm] von rechts an diese Gleichung, so ergibt das genau [mm] $x\circ \underbrace{x\circ\red{x^{-1}}}_{=1}=1\circ \red{x^{-1}}$, [/mm] also [mm] $x=x^{-1}$
[/mm]
Da G abgelschlossen ist, liegt für [mm] $x,y\in [/mm] G$ auch [mm] $x\circ y\in [/mm] G$
Nun musst du zeigen, dass [mm] $x\circ y=y\circ [/mm] x$ ist.
Betrachte nun mal [mm] $(x\circ y)^{-1}...$ [/mm] mit dem Obigen im Hinterkopf ...
>
> mfg Piccolo
LG
schachuzipus
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danke, nun ist mir das klar
mfg
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