Abelsche Gruppe+Bijektivität < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:07 Sa 07.11.2009 | | Autor: | ohlala |
| Aufgabe | Sei (G,+) eine abelsche Gruppe. Sei $ h [mm] \in [/mm] G$ fest gewählt. Zeigen Sie, dass die Abbildung
$ [mm] T_h:G \rightarrow [/mm] G$
$ g [mm] \rightarrow [/mm] h+g$
bijektiv ist. Geben Sie die Umkehrabbildung an.
Was sagt die Bijektivität dieser Abbildung über die Zeilen der Additionstafel einer endlichen Gruppe aus? |
Injektiv:
[mm] $f(g_1)=f(g_2) \Rightarrow g_1=g_2$
[/mm]
Annehme: f ist nicht injektiv $ [mm] \Rightarrow g_1 \ne g_2, f(g_1)=f(g_2)$
[/mm]
[mm] $h+g_1=h+g_2$
[/mm]
[mm] $g_1=g_2$ [/mm] Widerspruch zur Annahme [mm] $\Rightarrow$ [/mm] f ist injektiv.
Surjektiv:
Voraussetzung: ab. Gruppe
Behauptung: Jedes $x [mm] \in [/mm] G$ lässt sich als h+g abbilden.
BW: $g [mm] \in [/mm] G, h [mm] \in [/mm] G [mm] \Rightarrow [/mm] h+g [mm] \in [/mm] G$, also $h+g [mm] \rightarrow [/mm] x$
Da f inj. und surj. ist, ist f bij..
Umkehrabbildung:
$g [mm] \rightarrow [/mm] g-h$
Stimmen meine Ergebnisse?
Und kann mir bitte jemand erklären was die Bijektivität über die Zeilen der Additionstafel aussagt.
Also ich habe mir überlegt, dass h=0 sein muss, da es sonst keine endliche Gruppe mehr sein kann oder $g+h [mm] \not\in [/mm] G$, was ein Widerspruch zu der Abbildung wäre.
Wenn h=0 ist, dann ist die Zeile in der Tafel gleich deren Kopfzeile.
bin ich da auf dem richtigen weg?
Wäre echt super lieb wenn mir jemand helfen könnte, vielen dank schonmal und schönes we.
lg ohlala
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> Sei (G,+) eine abelsche Gruppe. Sei [mm]h \in G[/mm] fest gewählt.
> Zeigen Sie, dass die Abbildung
> [mm]T_h:G \rightarrow G[/mm]
> [mm]g \rightarrow h+g[/mm]
> bijektiv ist.
> Geben Sie die Umkehrabbildung an.
> Was sagt die Bijektivität dieser Abbildung über die
> Zeilen der Additionstafel einer endlichen Gruppe aus?
Hallo,
anscheinend hast Du [mm] T_f [/mm] sehr diskret (also völlig heimlich) umgetauft in f.
> Injektiv:
zu zeigen:
> [mm]f(g_1)=f(g_2) \Rightarrow g_1=g_2[/mm]
> Annehme: f ist nicht
> injektiv [mm]\Rightarrow g_1 \ne g_2, f(g_1)=f(g_2)[/mm]
Arbeite genauer. Unter "f ist nicht injektiv [mm]\Rightarrow g_1 \ne g_2, f(g_1)=f(g_2)[/mm]" kann mn sich nichts vorstellen.
Richtig:
f nicht injektiv.
Dann gibt es [mm] g_1\not=g_2 [/mm] mit [mm] f(g_1)=f(g_2).
[/mm]
==>
> [mm]h+g_1=h+g_2[/mm]
==>
> [mm]g_1=g_2[/mm]
Diese Folgerung ist zu begründen!
> Widerspruch zur Annahme [mm]\Rightarrow[/mm] f ist
> injektiv.
Genau.
>
> Surjektiv:
> Voraussetzung: ab. Gruppe
> Behauptung: Jedes [mm]x \in G[/mm] lässt sich als h+g abbilden.
???
Geh direkt an die Definitionen. So vermeidest Du abenteuerliche Formulierungen.
Richtig: zu jedem [mm] x\in [/mm] G gibt es ein [mm] g\in [/mm] G mit x=f(g)=g+h
> BW: [mm]g \in G, h \in G \Rightarrow h+g \in G[/mm], also [mm]h+g \rightarrow x[/mm]
???
Das ist völlig unverständlich.
Gib hier ein Element aus G an, welches auf x abgebildet wird.
Also so: für g:= ... gilt f(g)= ... =x.
Also ist die Abildung surjektiv.
> Da f inj. und surj. ist, ist f bij..
Ja.
>
> Umkehrabbildung:
> [mm]g \rightarrow g-h[/mm]
Ja, aber Du mußt noch vorrechnen, daß das wirklich die Umkehrabbildung ist.
>
> Stimmen meine Ergebnisse?
>
> Und kann mir bitte jemand erklären was die Bijektivität
> über die Zeilen der Additionstafel aussagt.
> Also ich habe mir überlegt, dass h=0 sein muss, da es
> sonst keine endliche Gruppe mehr sein kann
> oder [mm]g+h \not\in G[/mm],
???
Hier bist Du irgendwie auf dem völlig falschen Trip.
Du hast ja oben gezeigt, daß jede der Abbildungen [mm] T_h [/mm] mit [mm] T_h(g)=h+g [/mm] bijektiv ist.
Überleg' Dir jetzt mal, daß die Abbildung [mm] T_h [/mm] gerade die h-Zeile der Verknüpfungstafel beschreibt.
Überlege Dir nun, warum aufgrund der Eigenschaften der Funktion [mm] T_h [/mm] jedes Element von g genau einmal in dieser Zeile auftaucht.
Wie kannst Du mithilfe der Eigenschaften der Gruppe folgern, daß dies für die Spalten auch zutrifft?
Gruß v. Angela
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