Abbremsen einer Rakete < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Di 20.12.2016 | | Autor: | JaykopX |
Hallo!
Ich möchte die benötigte Zeit einer Landung von einer Rakete berechnen.
Ihr Abstand zum Boden ist gegeben durch [mm] $s_0$, [/mm] ihre Anfangsgeschwindigkeit (richtung Boden) ist gegeben durch [mm] $v_0$, [/mm] die Gravitation sei gegeben durch $g$.
Die Bremsbeschleunigung $b$ der Rakete wird mit zunehmender Zeit größer(in diskreten 1-Sekunden Schritten. Nach 4 Sekunden ist $b$ für den Rest der Zeit gleich).
Dazu habe ich die Bewegungsgleichung
$s(t) = [mm] s_0 [/mm] + [mm] v_0*t [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] g*t^2$
[/mm]
angepasst um die dynamische Bremsbeschleunigung zu berücksichtigen.
Dabei habe ich angenommen, dass
$s(t) = [mm] s_0 [/mm] + [mm] \integral_{0}^{t}{v(t) dt}$
[/mm]
und
$v(t) = [mm] v_0 [/mm] + [mm] \integral_{0}^{t}{a(t) dt}$
[/mm]
ist. Ich kenne a(t) in diskreten ein-Sekunden Schritten, also habe ich die Geschwindigkeit nach einer Sekunde wie folgt berechnet:
[mm] $v_1 [/mm] = [mm] v_0 [/mm] + [mm] (b_1 [/mm] + g)*1s$
nach zwei Sekunden:
[mm] $v_2 [/mm] = [mm] v_1 [/mm] + [mm] (b_2 [/mm] + g)*1s = [mm] v_0 [/mm] + [mm] (b_1 [/mm] + g)*1s + [mm] (b_2 [/mm] + g)*1s = [mm] v_0 [/mm] + [mm] (b_1 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] + 2*g)*1s$
nach drei Sekunden:
[mm] $v_3 [/mm] = [mm] v_2 [/mm] + [mm] (b_3 [/mm] + g)*1s = ... = [mm] v_0 [/mm] + [mm] (b_1 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] + [mm] b_3 [/mm] + 3*g)*1s$
nach vier Sekunden:
[mm] $v_4 [/mm] = [mm] v_3 [/mm] +( [mm] b_4 [/mm] + g)*1s= ... = [mm] v_0 [/mm] + [mm] (b_1 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] + [mm] b_3 [/mm] + [mm] b_4 [/mm] + 4*g)*1s$
nach n Sekunden, da b sich nicht mehr ändert:
[mm] $v_n [/mm] = [mm] v_{n-1} [/mm] +( [mm] b_4 [/mm] + g)*1s = ... = [mm] v_0 [/mm] + [mm] (b_1 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] + [mm] b_3 [/mm] + [mm] b_4 [/mm] + [mm] (n-4)*b_4 [/mm] + n*g)*1s$
wobei die [mm] $b_n$ [/mm] die Bremsbeschleunigung nach $n$ Sekunden ist.
Wenn ich die [mm] $v_n=\integral_{0}^{t}{v(t) dt}$ [/mm] jetzt in die Gleichung
$s(t) = [mm] s_0 [/mm] + [mm] \integral_{0}^{t}{v(t) dt}$
[/mm]
packe, dann erhalte ich
$s(t) = [mm] s_0 [/mm] + [mm] v_0*t [/mm] + [mm] b_1*t+ b_2*(t-1) [/mm] + [mm] b_3*(t-2) [/mm] + [mm] b_4*\bruch{(t-3)^2 + (t-3)}{2}+ g*\bruch{t^2 + t}{2}$
[/mm]
Löse ich die obige Gleichung nach t auf, dann sollte ich die gewünschte Lösung erhalten. Leider stimmt das Ergebnis nicht. Ich ich weis nicht wo mein Denkfehler liegt. Ich vermute, dass die beiden letzten Terme nicht richtig sind, aber durch stumpfes einsetzen habe ich diese so erhalten. Ich bin mir nichtmal sicher ob der Ansatz richtig ist und zur Lösung führt. Bin für jede Hilfe dankbar! Das ganze ist keine Aufgabe sondern ein "privates" Problem
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Di 20.12.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
sind denn die [mm] b_i [/mm] gegeben, dann verrat sie uns doch
aber die Geschwindigkeit kannst du nicht so einfach integrieren, rechne doch den Weg in den einzelnen Sekunden aus, mir scheint, du hast die Endgeschwindigkeit integriert? der Weg in der ersten s ist doch [mm] s_0+v_0*1s+(g+b_1)*1/2s^2 [/mm] mit dem neuen s und v die 2 te sec berechnen usw.
dass g und b entgegengesetztes Vorzeichen haben ist klar?
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Di 20.12.2016 | | Autor: | JaykopX |
Die [mm] $b_i$ [/mm] sind [mm] $1\bruch{m}{s^2}, 2\bruch{m}{s^2}, 3\bruch{m}{s^2}$ [/mm] und $4 [mm] \bruch{m}{s^2}$. [/mm] $g = [mm] -3.711\bruch{m}{s^2}$ [/mm] ist die Gravitation vom Mars. [mm] $s_0=2132,808m$ [/mm] und [mm] $v_0 [/mm] = [mm] -44,532\bruch{m}{s}$. [/mm] Die Zeit die bis zur Landung vergeht ist ca. $50s$ (getestet durch Simulation). Ich wollte nun auf diesen Wert kommen indem ich möglichst analytisch rechne und dann am Ende eine geschlossene Formel mit $t=...$ bekomme.
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