Abbildungsmatrix von Polynomen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 So 20.01.2008 | | Autor: | Audience |
| Aufgabe | Sei [mm] \mathcal{P}_{n} [/mm] der Vektorraum der reelen Polynome [mm] \le [/mm] n und [mm] \mathcal{B} [/mm] = {1, x, ... , [mm] x^{n} [/mm] } die Monombasis von [mm] \mathcal{P}_{n}
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix [mm] M_{T_{a}}^{\mathcal{B}, \mathcal{B}} [/mm] der Verschiebung
[mm] T_{a} [/mm] : [mm] \mathcal{P}_{n} \to \mathcal{P}_{n} [/mm] : P [mm] \mapsto T_{a}(P)
[/mm]
in Abhängigkeit von a [mm] \in \IR.
[/mm]
b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix [mm] M_{T_{D}}^{\mathcal{B}, \mathcal{B}} [/mm] der Differentiation
D : [mm] \mathcal{P}_{n} \to \mathcal{P}_{n} [/mm] : P [mm] \mapsto [/mm] P'.
c) Überprüfen Sie in a) und b) die Gültigkeit der Dimensionsformel. |
Ich habe hier mal meinen Lösungsvorschlag, bin mir aber nicht ganz sicher, ob alles korrekt formuliert und gerechnet wurde.
a) Es ist [mm] M_{T_{a}}^{\mathcal{B}, \mathcal{B}} [/mm] eine n x n Matrix mit n = Grad der Polynome.
Zur besseren Unterscheidung sei k = Zeilenindex und l = Spaltenindex beginnend bei 0.
[mm] M_{T_{a}}^{\mathcal{B}, \mathcal{B}} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 + a & a & a^{2} & .. & {l \choose 0} a^{l - 0} \\ 0 & 1 & 2a & .. & {l \choose 1} a^{l - 1} \\
0 & 0 & 1 & .. & {l \choose k} a^{l - k} \\
.. & .. & .. & .. & .. \\
0 & 0 & 0 & 0 & {l \choose k} a^{0} }
[/mm]
b) [mm] M_{T_{D}}^{\mathcal{B}, \mathcal{B}} [/mm] ist ebenfalls eine n x n Matrix. l sei der Spaltenindex beginnend bei 0.
[mm] M_{T_{D}}^{\mathcal{B}, \mathcal{B}} [/mm] =
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & .. & 0
\\ 0 & 0 & 2 & .. & 0
\\ 0 & 0 & 0 & .. & 0
\\ .. & .. & .. & .. & ..
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & l
\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
c) dim V = dim (Bild (L)) + dim (Kern (L))
Bei a) Ist dim V = n + 0 = n
Bei b) Ist dim V = (n - 1) + 1 = n
Stimmt das alles so? Darf man das so schreiben?
Vielen Dank für alle Antworten, Hinweise und Tipps.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 So 20.01.2008 | | Autor: | unknown |
Moin,
Du solltest auf jeden Fall noch mal ueber die Dimension von $V = [mm] \mathcal{P}_n$ [/mm] nachdenken. Wieviele Elemente hat Dein [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] denn?
Die Matrix der Ableitung sieht mir soweit einigermassen OK aus. Allerdings das [mm] ${\textstyle l}$ [/mm] in der letzten Spalte ist etwas ungluecklich. Du willst ja explizit die [mm] ${\textstyle n}$-te [/mm] Spalte hinschreiben, also sollte da auch [mm] ${\textstyle n}$ [/mm] stehen. Das gilt auch fuer die erste Matrix.
Ist [mm] $T_a(P) [/mm] = P(x+a)$? Dann solltest Du auf jeden Fall den Eintrag/die Spalte fuer [mm] $T_a(1)$ [/mm] nochmal ueberdenken.
Ich hoffe, das hilft Dir weiter.
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