Abbildungsmatrix bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Di 31.05.2011 | | Autor: | shadee |
Gegeben sei eine lineare Abbildung F: [mm] \IR^{2x2} \to \IR^{2x2}, [/mm] A [mm] \mapsto A_2, [/mm] wobei A = [mm] A_1 [/mm] + [mm] A_2. A_1 [/mm] ist eine schiefsymmetrische Matrix und [mm] A_2 [/mm] ist eine symmetrische Matrix. Gesucht ist die Abbildungsmatrix von F. Ich weiß, dass man dann einfach eine Basis bestimmt und jeden Basisvektor in die Abbildung gibt, danach Spaltenweise aufschreibt und somit die Abbildungsmatrix hat.
Ich hab auch eine Basis bestehend aus 4 Vektoren bestimmt (war eine Aufgabe davor). Aber wenn ich die jetzt reingebe, bekomme ich als Ergebnis ja wieder eine 2x2 Matrix. Wenn ich das alles als Spalten einer Matrix schreibe, bekomme ich ja eine 8x2 Matrix, denn [mm] M_{B}(F) [/mm] = [mm] \pmat{ F(b_1) & F(b_2) & F(b_3) & F(b_4) }. [/mm] Aber wenn ich da ne 2x2 Matrix ranmultipliziere bekomme ich doch ne 2x8 Matrix raus und keine 2x2 wie eigentlich von F vorgegeben ist.
Wo liegt denn mein Fehler. Verwechsel ich hier Abbildungsmatrix mit Darstellungsmatrix?
Danke für jede Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Di 31.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Die Abb. F ist aber sehr schlampig angegeben. Ich vermute, es ist folgendes gemeint:
[mm] $F(A)=\bruch{1}{2}(A+A^T)$
[/mm]
Vorneweg: die gesuchte Abb.-Matrix hat das Format: $ 4 [mm] \times [/mm] 4$
Die 4 folgenden Matrizen bilden eine Basis des Raumes [mm] \IR^{2 \times 2}:
[/mm]
[mm] B_1=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, B_2=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, B_3=\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }, B_4=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Wir berechnen mal die 2. Spalte der gesuchten Abb. Matrix: Rechne nach, dass gilt
[mm] $F(B_2)=0*B_1+\bruch{1}{2}*B_2+\bruch{1}{2}*B_3+0*B_4$
[/mm]
Dann sieht die 2. Spalte so aus:
0
[mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
0
FRED
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