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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Do 27.01.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Wir betrachten den Vektorraum $ [mm] \IR^3 [/mm] $ mit der Basis $ X = ( [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ -1 }, \pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 }, \pmat{ 3 \\ 1 \\ 0 } [/mm] ) $
und den Vektorraum $ [mm] \IR^2 [/mm] $ mit der Basis $ Y = ( [mm] \pmat{ 1 \\ 1 }, \pmat{ -2 \\ 1 } [/mm] ) $
Es sei $ [mm] \phi [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm] $ eine lineare Abbildung mit
[mm] A_{\phi,X,Y} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 }.
[/mm]
Berechnen Sie $ [mm] \phi(\pmat{ x \\ y \\ z }) [/mm] $ für einen beliebigen Vektor [mm] \pmat{ x \\ y \\ z } \in \IR^3, [/mm] sowie die Abbildungsmatrix von [mm] \phi [/mm] bezüglich der Standardbasen des [mm] \IR^3 [/mm] und [mm] \IR^2. [/mm] |
Hallo!
Habe bei der Aufgabe ein paar Probleme.. ich fang einfach mal an.
Allgemein gilt ja:
Basen: $ B = { [mm] b_{1},...,b_{n} [/mm] } $ und $ V = { [mm] v_{1},...,v_{m} [/mm] } $
$ j=1,...,n $
$ [mm] \phi(b_{j}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{m} a_{ij}v_{i} [/mm] $
Hier also:
[mm] \phi(\pmat{ 1 \\ 0 \\ -1 }) [/mm] = [mm] 1*\pmat{1 \\ 1} [/mm] + [mm] 1*\pmat{-2 \\ 1} [/mm] = [mm] \pmat{-1 \\ 2}
[/mm]
[mm] \phi(\pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 }) [/mm] = [mm] (-1)*\pmat{1 \\ 1} [/mm] + [mm] 1*\pmat{-2 \\ 1} [/mm] = [mm] \pmat{-3 \\ 0}
[/mm]
[mm] \phi(\pmat{ 3 \\ 1 \\ 0 }) [/mm] = [mm] 0*\pmat{1 \\ 1} [/mm] + [mm] 2*\pmat{-2 \\ 1} [/mm] = [mm] \pmat{-4 \\ 2}
[/mm]
Jetzt finde ich irgendwie keine Abbildung [mm] \phi(\pmat{x \\ y \\ z}) [/mm] die diese gleichung erfüllt. wo liegt mein fehler? stehe zur zeit leider etwas auf dem schlauch.. danke schonmal für die hilfe! :)
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> Wir betrachten den Vektorraum [mm]\IR^3[/mm] mit der Basis [mm]X = ( \pmat{ 1 \\
0 \\
-1 }, \pmat{ 1 \\
2 \\
3 }, \pmat{ 3 \\
1 \\
0 } )[/mm]
>
> und den Vektorraum [mm]\IR^2[/mm] mit der Basis [mm]Y = ( \pmat{ 1 \\
1 }, \pmat{ -2 \\
1 } )[/mm]
>
> Es sei [mm]\phi : \IR^3 \to \IR^3[/mm] eine lineare Abbildung mit
>
> [mm]A_{\phi,X,Y}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 2 }.[/mm]
>
> Berechnen Sie [mm]\phi(\pmat{ x \\
y \\
z })[/mm] für einen
> beliebigen Vektor [mm]\pmat{ x \\
y \\
z } \in \IR^3,[/mm] sowie die
> Abbildungsmatrix von [mm]\phi[/mm] bezüglich der Standardbasen des
> [mm]\IR^3[/mm] und [mm]\IR^2.[/mm]
> Hallo!
> Habe bei der Aufgabe ein paar Probleme.. ich fang einfach
> mal an.
> Allgemein gilt ja:
>
> Basen: [mm]B = { b_{1},...,b_{n} }[/mm] und [mm]V = { v_{1},...,v_{m} }[/mm]
>
> [mm]j=1,...,n[/mm]
>
> [mm]\phi(b_{j}) = \summe_{i=1}^{m} a_{ij}v_{i}[/mm]
>
> Hier also:
>
> [mm]\phi(\pmat{ 1 \\
0 \\
-1 })[/mm] = [mm]1*\pmat{1 \\
1}[/mm] + [mm]1*\pmat{-2 \\
1}[/mm]
> = [mm]\pmat{-1 \\
2}[/mm]
> [mm]\phi(\pmat{ 1 \\
2 \\
3 })[/mm] =
> [mm](-1)*\pmat{1 \\
1}[/mm] + [mm]1*\pmat{-2 \\
1}[/mm] = [mm]\pmat{-3 \\
0}[/mm]
>
> [mm]\phi(\pmat{ 3 \\
1 \\
0 })[/mm] = [mm]0*\pmat{1 \\
1}[/mm] + [mm]2*\pmat{-2 \\
1}[/mm]
> = [mm]\pmat{-4 \\
2}[/mm]
>
> Jetzt finde ich irgendwie keine Abbildung [mm]\phi(\pmat{x \\
y \\
z})[/mm]
Hallo,
schreibe [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] als Linearkombination der Basisvektoren von X
und verwende für [mm] $\phi(\pmat{x \\ y \\ z})$ [/mm] dann die Linearität von [mm] \phi.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 Fr 28.01.2011 | | Autor: | chesn |
Hallo Angela,
Erstmal vielen Dank für deine Antwort!
Habe leider noch Verständnisprobleme bei der Aufgabe...
Zur Linearkombination:
[mm] \pmat{x\\y\\z} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\pmat{1\\0\\-1}+\bruch{1}{2}*\pmat{1\\2\\3}+0*\pmat{3\\1\\0}
[/mm]
Soweit ok?
Wie hilft mir jetzt die Linearität? Für [mm] \phi [/mm] sind also Additivität und Homogenität erfüllt, komme aber gerade nicht weiter damit.
Was hat es mit der Basis aus dem [mm] \IR^2 [/mm] auf sich? Es verwirrt mich, dass die Basis aus dem [mm] \IR^2 [/mm] ist..
Ist das was ich ganz oben gemacht habe überhaupt sinnvoll oder sollte ich das verwerfen?
Danke schonmal! :]
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> Habe leider noch Verständnisprobleme bei der Aufgabe...
> Zur Linearkombination:
>
> [mm]\pmat{x\\
y\\
z}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}*\pmat{1\\
0\\
-1}+\bruch{1}{2}*\pmat{1\\
2\\
3}+0*\pmat{3\\
1\\
0}[/mm]
Hallo,
Du hast meinen Tip nicht sonderlich begnadet umgesetzt:
rechts steht, wenn ich das mal ausrechne, der Vektor [mm] \vektor{1\\1\\1}.
[/mm]
Rauskommen soll aber [mm] \vektor{x\\y\\z}.
[/mm]
Du mußt das Gleichungssystem, welches sich aus
[mm] $\pmat{x\\y\\z}$ [/mm] = [mm] $a*\pmat{1\\0\\-1}+b*\pmat{1\\2\\3}+c*\pmat{3\\1\\0}$
[/mm]
ergibt, nach a,b,c auflösen.
Dann weißt Du, welche Koeffizienten Du nehmen mußt, damit [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] herauskommt.
Mach das erstmal.
Zum Rest:
wenn Du weißt, daß
[mm] \pmat{x\\y\\z} [/mm] = [mm] a*\pmat{1\\0\\-1}+b*\pmat{1\\2\\3}+c*\pmat{3\\1\\0},
[/mm]
dann ist
[mm] \phi(\pmat{x\\y\\z})=\phi(a*\pmat{1\\0\\-1}+b*\pmat{1\\2\\3}+c*\pmat{3\\1\\0}) [/mm]
unter Berücksichtigung der Linearität von [mm] \phi [/mm] gleich was?
Und die Funktionswerte von [mm] \pmat{1\\0\\-1}, \pmat{1\\2\\3}, \pmat{3\\1\\0} [/mm] kennst Du ja...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Fr 28.01.2011 | | Autor: | chesn |
Okay, dankeschön nochmal.. ich glaube ich habs jetzt (hoffentlich). :)
$ [mm] \pmat{x\\y\\z} [/mm] $ = $ [mm] a\cdot{}\pmat{1\\0\\-1}+b\cdot{}\pmat{1\\2\\3}+c\cdot{}\pmat{3\\1\\0}, [/mm] $
Damit komme ich auf:
$ a = [mm] -\bruch{3}{2}x [/mm] + [mm] \bruch{9}{2}y [/mm] - [mm] \bruch{5}{2}z [/mm] $
$ b = [mm] -\bruch{1}{2}x [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}y [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}z [/mm] $
$ c = x - 2y + z $
Dürfte soweit stimmen..
Meine Funktionswerte sind jetzt die, die ich anfangs ausgerechnet habe?!
Also:
$ [mm] \phi(\pmat{ 1 \\ 0 \\ -1 }) [/mm] $ = $ [mm] 1\cdot{}\pmat{1 \\ 1} [/mm] $ + $ [mm] 1\cdot{}\pmat{-2 \\ 1} [/mm] $ = $ [mm] \pmat{-1 \\ 2} [/mm] $
$ [mm] \phi(\pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 }) [/mm] $ = $ [mm] (-1)\cdot{}\pmat{1 \\ 1} [/mm] $ + $ [mm] 1\cdot{}\pmat{-2 \\ 1} [/mm] $ = $ [mm] \pmat{-3 \\ 0} [/mm] $
$ [mm] \phi(\pmat{ 3 \\ 1 \\ 0 }) [/mm] $ = $ [mm] 0\cdot{}\pmat{1 \\ 1} [/mm] $ + $ [mm] 2\cdot{}\pmat{-2 \\ 1} [/mm] $ = $ [mm] \pmat{-4 \\ 2} [/mm] $
Weiter ist [mm] \phi [/mm] linear, also:
$ [mm] \phi(a*\pmat{1\\0\\-1} [/mm] + [mm] b*\pmat{1\\2\\3} [/mm] + [mm] c*\pmat{3\\1\\0}) [/mm] = [mm] a*\phi(\pmat{1\\0\\-1}) [/mm] + [mm] b*\phi(\pmat{1\\2\\3}) [/mm] + [mm] c*\phi(\pmat{3\\1\\0}) [/mm] $ (*)
Setze nun alles ein:
(*) $ = [mm] (-\bruch{3}{2}x [/mm] + [mm] \bruch{9}{2}y [/mm] - [mm] \bruch{5}{2}z) [/mm] * [mm] \pmat{-1\\2} [/mm] + [mm] (-\bruch{1}{2}x [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}y [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}z) [/mm] * [mm] \pmat{-3\\0} [/mm] + (x - 2y + z) * [mm] \pmat{-4\\2} [/mm] = [mm] \pmat{-x-y \\ -x+5y-3z}$
[/mm]
Hoffe es stimmt so.. wäre nett wenn du nochmal drüber schauen könntest.
Vielen, vielen Dank!
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> Okay, dankeschön nochmal.. ich glaube ich habs jetzt
> (hoffentlich). :)
>
> [mm]\pmat{x\\
y\\
z}[/mm] =
> [mm]a\cdot{}\pmat{1\\
0\\
-1}+b\cdot{}\pmat{1\\
2\\
3}+c\cdot{}\pmat{3\\
1\\
0},[/mm]
>
> Damit komme ich auf:
>
> [mm]a = -\bruch{3}{2}x + \bruch{9}{2}y - \bruch{5}{2}z[/mm]
>
> [mm]b = -\bruch{1}{2}x + \bruch{3}{2}y - \bruch{1}{2}z[/mm]
>
> [mm]c = x - 2y + z[/mm]
>
> Dürfte soweit stimmen..
Hallo,
ich habe das jetzt nicht nachgerechnet.
Du hast auf jeden Fall richtig verstanden, was ich von Dir wollte.
>
> Meine Funktionswerte sind jetzt die, die ich anfangs
> ausgerechnet habe?!
> Also:
>
> [mm]\phi(\pmat{ 1 \\
0 \\
-1 })[/mm] = [mm]1\cdot{}\pmat{1 \\
1}[/mm] +
> [mm]1\cdot{}\pmat{-2 \\
1}[/mm] = [mm]\pmat{-1 \\
2}[/mm]
> [mm]\phi(\pmat{ 1 \\
2 \\
3 })[/mm]
> = [mm](-1)\cdot{}\pmat{1 \\
1}[/mm] + [mm]1\cdot{}\pmat{-2 \\
1}[/mm] =
> [mm]\pmat{-3 \\
0}[/mm]
> [mm]\phi(\pmat{ 3 \\
1 \\
0 })[/mm] =
> [mm]0\cdot{}\pmat{1 \\
1}[/mm] + [mm]2\cdot{}\pmat{-2 \\
1}[/mm] = [mm]\pmat{-4 \\
2}[/mm]
Genau.
>
> Weiter ist [mm]\phi[/mm] linear, also:
>
> [mm]\phi(a*\pmat{1\\
0\\
-1} + b*\pmat{1\\
2\\
3} + c*\pmat{3\\
1\\
0}) = a*\phi(\pmat{1\\
0\\
-1}) + b*\phi(\pmat{1\\
2\\
3}) + c*\phi(\pmat{3\\
1\\
0})[/mm]
> (*)
>
> Setze nun alles ein:
>
> (*) [mm]= (-\bruch{3}{2}x + \bruch{9}{2}y - \bruch{5}{2}z) * \pmat{-1\\
2} + (-\bruch{1}{2}x + \bruch{3}{2}y - \bruch{1}{2}z) * \pmat{-3\\
0} + (x - 2y + z) * \pmat{-4\\
2} = \pmat{-x-y \\
-x+5y-3z}[/mm]
Auch hier habe ich nichts nachgerechnet.
Die Vorgehensweise stimmt.
Du konntest jetzt bei Lust und Laune sogar noch leicht die Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasen aufschreiben - nur so für Dich.
Gruß v. Angela
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Hallo,
ich beschäftige mich seit einigen Stunden mit der gleichen Aufgabe und bin jetzt auf das gleiche Ergebis gekommen, da ich aber nicht so das Wahnsinnsverständnis habe, quält mich noch Folgendes:
1.) In der Aufgabenstellung steht ja, dass phi von R³ auf R³ abbildet, aber ist es nicht so, dass phi von R³ auf R² abbildet? oder habe ich da einen Denkfehler? Ich dachte erst, dass es halt einfach ein Fehler in der Aufgabestellung ist und habe das ignoriert, aber jetzt bin ich irritiert.
2.) Wo genau brauche ich jetzt bei dieser ganzen Rechnung eigentlich die Basis vom R², ich meine es ist klar, dass ich die Bilder der Basisvektoren von R³ als Linearkombination der Basisvektoren von R² darstellen kann, aber das brauche ich ja eigentlich gar nicht oder? Da die aber in der Aufgabenstellung angegeben sind, frage ich mich, ob ich da was missverstanden habe...
Danke im Voraus!
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> 1.) In der Aufgabenstellung steht ja, dass phi von R³ auf
> R³ abbildet, aber ist es nicht so, dass phi von R³ auf
> R² abbildet?
Hallo,
ja, natürlich!
Das ist ein Tippfehler.
>
> 2.) Wo genau brauche ich jetzt bei dieser ganzen Rechnung
> eigentlich die Basis vom R², ich meine es ist klar, dass
> ich die Bilder der Basisvektoren von R³ als
> Linearkombination der Basisvektoren von R² darstellen
> kann, aber das brauche ich ja eigentlich gar nicht oder?
Doch.
Du hast die Abbildungsmatrix $ [mm] A_{\phi,X,Y} [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 } [/mm] $ von [mm] \phi [/mm] gegeben, welche bzgl der Basen X und Y gegeben ist und nicht bzgl. der kanonischen Basen der beiden Räume.
Dieser Matrix kannst Du nun die Koordinatenvektoren bzgl. Y entnehmen, auf welche die Basisvektoren von X jeweils abgebildet werden.
Du kennst also das Bild der Basisvektoren - aber in Koordinaten bzgl Y, und um die Bilder bzgl. der kanonischen Basis zu bekommen, brauchst Du natürlich Y.
Gruß v. Angela
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