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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Abbildungsmatrix
Abbildungsmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Abbildungsmatrix: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 Mi 27.01.2010
Autor: Batista88

Aufgabe
Es sei phi [mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3} [/mm] = [mm] \pmat{ ix_1 + 2x_3 \\ x_2 + 4ix_3\\ x_1 + x_2 \\ ix_1+3x_1+x_2 } [/mm]

Es seien
B:=   [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm]



und

C:=  [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm]

Basen von [mm] \IC_3 \to \IC_4 [/mm]
Bestimme [mm] [phi]^B_C [/mm]


Hallo,

[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] =  [mm] \pmat{ 1i+2 \\ 4i+1 \\ 2 \\ i+4 } [/mm]

[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] =  [mm] \pmat{ i \\ 1 \\ 2 \\ i+4 } [/mm]

[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] =  [mm] \pmat{ i \\ 0 \\ 1\\ i+1 } [/mm]

(i+2, 4i+1, 2, i+4)= ?(1,1,1,1) ?(1,1,1,0)?(1,1,0,0)?(1,0,0,0)

(i, 1, 2, i+4)= ?(1,1,1,1) ?(1,1,1,0)?(1,1,0,0)?(1,0,0,0)

(i, 0, 1, i+1)= ?(1,1,1,1) ?(1,1,1,0)?(1,1,0,0)?(1,0,0,0)

Ich hoffe, dass es soweit richtig ist. Aber ich weiß immer noch nicht wie ich die Abbildungsmatrix bestimme,deshalb noch die Fragezeichen.
Kann mir jemand weiterhelfen.
MFG
Batista


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Abbildungsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:53 Mi 27.01.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Batista88,



> Es sei phi [mm]\vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3}[/mm] = [mm]\pmat{ ix_1 + 2x_3 \\ x_2 + 4ix_3\\ x_1 + x_2 \\ ix_1+3x_1+x_2 }[/mm]
>  
> Es seien
> B:=   [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] ,
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
>
>
> und
>
> C:=  [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> , [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
> Basen von [mm]\IC_3 \to \IC_4[/mm]
>  Bestimme [mm][phi]^B_C[/mm]
>  
>
> Hallo,
>  
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] =  [mm]\pmat{ 1i+2 \\ 4i+1 \\ 2 \\ i+4 }[/mm]
>  
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] =  [mm]\pmat{ i \\ 1 \\ 2 \\ i+4 }[/mm]
>  
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] =  [mm]\pmat{ i \\ 0 \\ 1\\ i+\blue{1} }[/mm]

Ich meine das sollte [mm] $i+\blue{3}$ [/mm] sein ...

>  
> (i+2, 4i+1, 2, i+4)= ?(1,1,1,1)  ?(1,1,1,0)?(1,1,0,0)?(1,0,0,0)
>  
> (i, 1, 2, i+4)= ?(1,1,1,1) ?(1,1,1,0)?(1,1,0,0)?(1,0,0,0)
>  
> (i, 0, 1, i+1)= ?(1,1,1,1) ?(1,1,1,0)?(1,1,0,0)?(1,0,0,0)
>  
> Ich hoffe, dass es soweit richtig ist. Aber ich weiß immer
> noch nicht wie ich die Abbildungsmatrix bestimme,deshalb
> noch die Fragezeichen.

Ersetze die Fragezeichen durch a,b,c,d und löse das LGS

Die Koeffizienten a,b,c,d stopfst du als Spalte in die Darstellungsmatrix.

Und zwar die, die du für die LK des Bildes des i-ten Basisvektors erhältst, in die i-te Spalte

Fangen wir mit dem [mm] \red{1}. [/mm] Basisvektor an.

Das ist [mm] $\vektor{1 \\ 1 \\ 1}$ [/mm]

Dessen Bild ist [mm] $\vektor{i+2\\ 4i+1\\2\\ i+4}$ [/mm]

Das stelle als LK der Basisvektoren des Zielraumes dar, wie du auch schon richtig angesetzt hast:

Also [mm] $\vektor{i+2\\ 4i+1\\2\\ i+4}=a\cdot{}\vektor{1\\ 1\\1\\ 1}+b\cdot{}\vektor{1\\ 1\\1\\ 0}+c\cdot{}\vektor{1\\ 1\\1\\ 0}+d\cdot{}\vektor{1\\ 0\\0\\ 0}$ [/mm]

Das löse am besten in Matrixdarstellung:

[mm] $\pmat{1&1&1&1&\mid&i+2\\1&1&1&0&\mid&4i+1\\1&1&0&0&\mid&2\\1&0&0&0&\mid&i+4}$ [/mm]

Hieraus berechne mal $a,b,c,d$ und stopfe sie dann als [mm] \red{1} [/mm] .Spalte in die Darstellungsmatrix.

Die anderen Spalten kannst du analog berechnen ..



>  Kann mir jemand weiterhelfen.
>  MFG
>  Batista
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruß

schachuzipus

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