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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Do 20.03.2014 | | Autor: | hotrod91 |
| Aufgabe | Wir betrachten die lineare Abbildung T : R3 → R3, die einen Vektor x ∈ R3 in z-Richtung auf die x-y-Ebene projiziert und anschließend um die z-Achse um 90◦ dreht.
(i) Finden Sie die Abbildungsmatrix C für diese lineare Abbildung T
(ii) Finden Sie die Abbildungsmatrizen A für die orthogonale Projektion auf die x-y-Ebene und B für die Drehung um 90◦ um die z-Achse.
(iii) Berechnen Sie AB und BA.
(iv) Wir erwarten C = BA, erklären Sie geometrisch, warum auch C = AB gilt.
(v) Gilt immer BA = AB für Abbildungsmatrizen, die eine zusammengesetzte lineare Abbildung beschreiben? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Ich habe wohl ein kleines Verständnisproblem mit folgender Aufgabe.
Ich komme schon bei (i) nicht weiter, weil mir nicht ganz bewusst ist was ich machen soll.
Die Standardbasis ist ja [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }, [/mm] jetzt weis ich nicht wie ich darauf abbilde bzw. fehlt mir ein Ansatz.
Vielen Dank schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Do 20.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten die lineare Abbildung T : R3 → R3, die
> einen Vektor x ∈ R3 in z-Richtung auf die x-y-Ebene
> projiziert und anschließend um die z-Achse um 90◦
> dreht.
>
> (i) Finden Sie die Abbildungsmatrix C für diese lineare
> Abbildung T
> (ii) Finden Sie die Abbildungsmatrizen A für die
> orthogonale Projektion auf die x-y-Ebene und B für die
> Drehung um 90◦ um die z-Achse.
> (iii) Berechnen Sie AB und BA.
> (iv) Wir erwarten C = BA, erklären Sie geometrisch, warum
> auch C = AB gilt.
> (v) Gilt immer BA = AB für Abbildungsmatrizen, die eine
> zusammengesetzte lineare Abbildung beschreiben?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo Ich habe wohl ein kleines Verständnisproblem mit
> folgender Aufgabe.
> Ich komme schon bei (i) nicht weiter, weil mir nicht ganz
> bewusst ist was ich machen soll.
> Die Standardbasis ist ja [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 },[/mm]
Nein das ist nicht die Standardbasis des [mm] \IR^3, [/mm] sondern:
[mm] \{\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}\}
[/mm]
> jetzt weis ich nicht wie ich darauf abbilde bzw. fehlt mir
> ein Ansatz.
>
Sei [mm] b_1:=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, b_2:=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] b_3:=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Überlege Dir zunächst:
[mm] T(b_1)=?, T(b_2)=?, T(b_3)=?
[/mm]
FRED
> Vielen Dank schonmal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Do 20.03.2014 | | Autor: | hotrod91 |
Nehm ich für T [mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] ? Die würde doch eine Drehung im Raum um 90° um die z-Achse beschreiben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Do 20.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Nehm ich für T [mm]\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
> ?
Nehmen kannst Du das, aber dann nimmst Du etwas falsches !
> Die würde doch eine Drehung im Raum um 90° um die
> z-Achse beschreiben.
Steht da nicht:
"Wir betrachten die lineare Abbildung T : R3 → R3, die einen Vektor x ∈ R3 in z-Richtung auf die x-y-Ebene projiziert und anschließend um die z-Achse um 90◦ dreht" ?
Doch, das steht oben !
Dann hat T die Abbildungsmatrix
[mm]\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
Warum ? Was ist [mm] T(b_3) [/mm] ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Do 20.03.2014 | | Autor: | hotrod91 |
Mir fällt das irgendwie schwer sich das Vorzustellen. Ich hoffe ich bin jetzt auf dem richtigen Weg.
Mich irritiert die Aussage '' ein Vektor in Z-Richtung auf die x-y-Ebene projiziert''. Bedeutet das, ich habe einen Vektor der erst in Z-Richtung zeigt und dann runter in die x-y-Ebene geklappt wird. Das bedeutet dann so viel, wie dass die Z-Koordinaten 0 werden ?
D.h, dass mein T mit der 1 in der 3. Spalte einen Vektor nur im Raum um 90° beschreibt. Und dein T die 0 dort hat, weil sich der Vektor (in Z-Richtung) nur Flach dann in der x-y Ebene befindet.
Also $ [mm] T(b_3) [/mm] $= [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Do 20.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja man kann den Satz auch komisch lesen. als einVektor in -Z Richtung und dann was mit dem passiert.
aber nein, jeder Vektor x aus [mm] \IR^3 [/mm] wird in z-Richtung projiziert , also senkrecht nach unten, d,h, jeder Vektor wird auf den Vektor mit seiner z-Komponente =0 abgebildet.
(a,b,c)°T auf [mm] (a,b,0)^T
[/mm]
jetzt klar
Gruß leduart
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