Abbildungseigenschaften < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Do 15.05.2008 | | Autor: | marc62 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix A= [mm] \begin{pmatrix} cos\varphi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix}, \varphi\in (0,2\pi) [/mm] und eine lineare Abbildung [mm] \varphi: \IR^2 \rightarrow \IR^2 [/mm] mit x [mm] \rightarrow \varphi(x) [/mm] = Ax
a, Welche geometrische Abbildung vermittel [mm] \varphi [/mm] ? ( Führen sie #2, 1.b z.B.: für [mm] \varphi [/mm] = [mm] \pi/3 [/mm] aus!)
b, Besitzt A reelle Eigenvektoren? Beantworten sie diese Frage allein mit der unter a, ermittelten Abbildungseigenschaft |
Meine Frage ist allumfassend. Ich hab keine Ahnung was damit gemeint ist, und leider hab ich kein buch zur hand in dem ich es nachschlagen kann und das Internet macht auch nicht schlauer.
Ich hoffe einer von euch hat davon Ahnung.
Danke schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Guten abend also hast du dir das Beispiel was da angegeben war mal angeschaut?
Ändert die Matrix die euklidische Länge des Vektors, (probiers mal für einen oder zwei aus)?
Jetzt schau dir mal an, wie sich der Winkel zwischen der Koordinatenachse(z.B der x-Achse und dem Vektor) ändert Den kann man ja über das Skalarprodukt bestimmen. Dann bekommst du raus was die Abbildung mit einem Vektor anstellt. Eine Skizze kann auch nich schaden.
b) überlegt man sich schnell wenn man a gelöst hat.
Einen schönen Abend wünsche ich
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Do 15.05.2008 | | Autor: | marc62 |
soweit ich jetzt weis bleibt die länge immer gleich, da [mm] cos^2\varphi +sin^2\varphi [/mm] immer 1 ist.
Das Skalarprodukt ist immer null. OK
Aber was für ne Abbildung erhalte ich damit . Ein Quadrat ??? Ich steh wohl etwas aufm Schlauch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Do 15.05.2008 | | Autor: | marc62 |
aufwärts
|
|
|
| |
|
das was da steht ist eine drehung um den winkel [mm] \phi. [/mm] nu begründe mal warum das so ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Fr 16.05.2008 | | Autor: | marc62 |
Das es eine Drehung ist kann ich verstehen, aber warum und wie ich das erklären soll , dazu fällt mir leider nichts ein,
Bei den Eingenwerten bin ich nun soweit:
[mm] \lambda [/mm] = cos [mm] \varphi \pm \wurzel{cos^2 - 1} [/mm] = 0
Daraus schließe ich mal das es nur reelle Werte für [mm] cos^2\varphi \ge [/mm] 1 aber da für [mm] cos^2\varphi +sin^2\varphi [/mm] = 1 gilt muss [mm] cos^2\varphi [/mm] =1 sein. Oder seh ich das falsch.???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 Sa 17.05.2008 | | Autor: | marc62 |
Also gibt es reelle Eigenvektoren nur bei [mm] \varphi [/mm] = 180° = [mm] \pi [/mm]
soweit so gut , aber wie kann ich das allein aus den Abbildungseigenschaften ableiten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 Sa 17.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> Das es eine Drehung ist kann ich verstehen, aber warum und
> wie ich das erklären soll , dazu fällt mir leider nichts
> ein,
Es reicht zu zeigen, dass die Basisvektoren gedreht werden (warum?). Betrachte also einfach mal die Standartbasisvektoren, wende deine Abbildung darauf an und überlege dir, ob und ggf. um welchen punkt und welchen winkel sie gerdreht wurden.
> Bei den Eingenwerten bin ich nun soweit:
> [mm]\lambda[/mm] = cos [mm]\varphi \pm \wurzel{cos^2 - 1}[/mm] = 0
Was soll das "$=0$" am Ende? Der Rest is richtig
> Daraus schließe ich mal das es nur reelle Werte für
> [mm]cos^2\varphi \ge[/mm] 1 aber da für [mm]cos^2\varphi +sin^2\varphi[/mm]
> = 1 gilt muss [mm]cos^2\varphi[/mm] =1 sein. Oder seh ich das
> falsch.???
Alles richtig. Die (reellen) Eigenwerte [mm] $\lambda$ [/mm] existieren also nur wenn [mm] $\cos\varphi=\pm1$ [/mm] ist und dann ist [mm] $\lambda=\cos\varphi$.
[/mm]
Aber man kann sich das auch ganz leicht geometrisch veranschaulichen. Im [mm] $\IR^n$ [/mm] sind Eigenvektoren nämlich diejenigen Vektoren, die unter der Abbildung einfach nur um einen reellen Faktor (auch 0!) gestreckt werden. Bei einer Drehung passiert das natürlich nur, wenn du gerade um $0$ bzw. [mm] $\pi$ [/mm] drehst. Bei Drehung um 0° hast du die Identität und jeder Vektor [mm] $\ne0$ [/mm] ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1. Bei Drehung um [mm] $\pi$ [/mm] hast du eine Spiegelung an der "y-Achse", d.h. jeder Vektor [mm] $\ne0$ [/mm] ist Eigenvektor zum Eigenwert $-1$.
|
|
|
| |
|
> > Daraus schließe ich mal das es nur reelle Werte für
> > [mm]cos^2\varphi \ge[/mm] 1 aber da für [mm]cos^2\varphi +sin^2\varphi[/mm]
> > = 1 gilt muss [mm]cos^2\varphi[/mm] =1 sein. Oder seh ich das
> > falsch.???
> Alles richtig. Die (reellen) Eigenwerte [mm]\lambda[/mm] existieren
> also nur wenn [mm]\cos\varphi[/mm]=1 ist und dann ist
> [mm]\lambda=\cos\varphi[/mm].
Hallo,
für reelle Eigenwerte muß sein [mm] cos\varphi=\red{\pm 1}, [/mm] also haben wir reelle Eigenwerte für Drehungen um 0° und um 180°, was Du später ja auch erwähnst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 So 18.05.2008 | | Autor: | marc62 |
Danke für Eure Hilfe.
Hat mir wirklich geholfen !!
|
|
|
|
