Abbildungen zwischen Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:20 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Djwinkel |
| Aufgabe | | sei f : X [mm] \mapsto [/mm] Y eine Abbildung zwischen zwei Mengen. Man zeige für Teilmengen M1, M2 [mm] \subset [/mm] X und N1, N2 [mm] \subset [/mm] Y |
Hi!,
Muss ich bei dieser Aufgabe für die Beweisführung mit der Definition arbeiten oder darf ich das überhaupt? Ich finde gerade keinen Ansatz die Aufgabe zu lösen. Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
mfg
david
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:32 Fr 27.10.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo,
da fehlt wohl ein Teil der Aufgabenstellung, oder ?
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Djwinkel |
Ja, ich war heute morgen noch etwas müde :). Also oben steht der Anfang der Aufgaben, hier geht sie weiter:
a) f(M1 [mm] \cup [/mm] M2) = f(M1) [mm] \cup [/mm] f(M2)
Entschuldiung nochmals,
mfg
david
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Hallo,
zu zeigen sind
i) [mm] f(M_1 \cup M_2) \subseteq f(M_1) \cup F(M_2)
[/mm]
und
ii) [mm] f(M_1) \cup f(M_2) \subseteq f(M_1 \cup M_2)
[/mm]
zui)
Sei y [mm] \in f(M_1 \cup M_2)
[/mm]
==> es gibt ein x [mm] \in [/mm] ... mit f(x)=y
==>...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Djwinkel |
Also ich hab die Aufgabe mittels der Defintion für Bilder (hoffentlich gelöst):
[mm] \gdw [/mm] f(M1 [mm] \cup M2)=\{y \in Y : x \in (M1 \cup M2) und f(x)=y\}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] f(M1 [mm] \cup M2)=\{y \in Y : x \in M1 \cup M2 und f(x)=y\}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] f(M1 [mm] \cup M2)=\{(y \in Y : x \in M1 \vee y \in Y : x \in M2) \wedge f(x)=y\}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] f(M1 [mm] \cup [/mm] M2)=f(M1) [mm] \cup [/mm] M2
So, jetzt gehts aber gleich zur nächsten Aufgabe die wie folgt lautet:
f(M1 [mm] \cap [/mm] M2) [mm] \subset [/mm] f(M1) [mm] \cap [/mm] f(M2) . Gilt sogar Gleichheit?
Der Beweis ist der gleiche wie oben, nur das jetzt die Defintion für eine Teilmenge dazukommt:
f(M1 [mm] \cap [/mm] M2) [mm] \subseteq [/mm] f(M1) [mm] \cap [/mm] f(M2) [mm] \gdw \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] f(M1 [mm] \cap [/mm] M2) : x [mm] \in [/mm] f(M1) [mm] \cap [/mm] f(M2). Folgere ich jetzt richtig dass aufgrund des Beweises Gleichheit besteht?
mfg
david
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> Also ich hab die Aufgabe mittels der Defintion für Bilder
> (hoffentlich gelöst):
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> [mm]\gdw[/mm] f(M1 [mm]\cup M2)=\{y \in Y : x \in (M1 \cup M2) und f(x)=y\}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] f(M1 [mm]\cup M2)=\{y \in Y : x \in M1 \cup M2 und f(x)=y\}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] f(M1 [mm]\cup M2)=\{(y \in Y : x \in M1 \vee y \in Y : x \in M2) \wedge f(x)=y\}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] f(M1 [mm]\cup[/mm] M2)=f(M1) [mm]\cup[/mm] M2
>
> So, jetzt gehts aber gleich zur nächsten Aufgabe
Halt! Halt! Nicht so stürmisch!
Bei einem Beweis müßte ja am Schluß irgendwie die zu beweisende Aussage herauskommen...
Das ist bei Dir nicht der Fall.
Auch dazwischen lese ich einiges, was Murks ist.
Ich empfehle Dir, das wirklich einmal elementweise zu zeigen, so wie ich es Dir vorgemacht habe.
Das hat mehrere Vorteile: man muß weniger schreiben, und man erhält das Ergebnis einleuchtender.
Gruß v. Angela
die wie
> folgt lautet:
>
> f(M1 [mm]\cap[/mm] M2) [mm]\subset[/mm] f(M1) [mm]\cap[/mm] f(M2) . Gilt sogar
> Gleichheit?
>
> Der Beweis ist der gleiche wie oben, nur das jetzt die
> Defintion für eine Teilmenge dazukommt:
>
> f(M1 [mm]\cap[/mm] M2) [mm]\subseteq[/mm] f(M1) [mm]\cap[/mm] f(M2) [mm]\gdw \forall[/mm] x [mm]\in[/mm]
> f(M1 [mm]\cap[/mm] M2) : x [mm]\in[/mm] f(M1) [mm]\cap[/mm] f(M2). Folgere ich jetzt
> richtig dass aufgrund des Beweises Gleichheit besteht?
>
> mfg
> david
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 So 29.10.2006 | | Autor: | Djwinkel |
Hi angela,
Danke dass du dir Zeit nimmst mir den Lösungsweg aufzuzeigen, aber ich muss sagen dass ich überhaupt nicht weiß auf was du mit deinem ansatz hinauswillst. Könntest du mir vielleicht erklären? Mir ist die Lösung ja klar, aber ich kenne diese Beweissystematik überhaupt nicht von der Schule. Könnte ich nicht trotzdem mit der Definition eines Bildes arbeiten und die Aussage damit bewerten?
mfg
david
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Hallo,
zunächst zum Beweis für die Gleichheit zweier Mengen A,B.
Hier ist zweierlei zu zeigen
i) A [mm] \subseteq [/mm] B und
ii) B [mm] \subseteq [/mm] A.
Gelegentlich - aber nicht immer - geht das in einem Zug, aber gerade am Anfang ist es übersichtlicher, sich das so aufzuteilen, selbst, wenn man es nicht müßte.
Will man nun A [mm] \subseteq [/mm] B zeigen, muß man sich klarmachen, was das bedeutet:
jedes Element von A liegt auch in B.
Die Konsequenz für den Beweis: man nimmt sich ein beliebiges x [mm] \in [/mm] A und zeigt, daß es auch in B liegt.
Ich mache es Dir jetzt an der einen Teilaussage vor.
Zu zeigen ist für
f : X $ [mm] \mapsto [/mm] $ Y ,
M1, M2 $ [mm] \subset [/mm] $ X
i) $ [mm] f(M_1 \subseteq M_2) \scup f(M_1) \subseteq F(M_2) [/mm] $
Beweis:
Sei also f : X $ [mm] \mapsto [/mm] $ Y ,
M1, M2 $ [mm] \subset [/mm] $ X.
(Nun nehme ich mir ein beliebiges Element aus [mm] f(M_1 \cup M_2):)
[/mm]
Sei y $ [mm] \in f(M_1 \cup M_2) [/mm] $
==> es gibt ein x $ [mm] \in [/mm] $ [mm] M_1 \cup M_2 [/mm] mit f(x)=y
(Hier habe ich die Definition fürs Bild verwendet)
==> es gibt ein x [mm] \in M_1 [/mm] oder es gibt ein x [mm] \in M_2 [/mm] mit f(x)=y
(Def. Vereinigung)
==> y [mm] \in f(M_1) [/mm] oder y [mm] \in f(M_2)
[/mm]
(Def. des Bildes)
==> y [mm] \in f(M_1) \cup f(M_2)
[/mm]
(Def. Vereinigung)
Somit ist [mm] f(M_1 \cup M_2) \subseteq f(M_1) \cup F(M_2)
[/mm]
Gruß v. Angela
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