Abbildungen von Mengen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Mi 06.11.2013 | | Autor: | jayw |
| Aufgabe | Es seien $m,n [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $M_1$ [/mm] und [mm] $M_2$ [/mm] endliche Mengen mit
[mm] $\left|M_1\right|=m, \left|M_2\right|=n.$
[/mm]
Bestimmen Sie die Anzahl möglicher Abbildungen von [mm] $M_1$ [/mm] nach [mm] $M_2$. [/mm] Wieviele dieser Abbildungen sind injektiv? |
Ich verstehe leider mal wieder die Aufgabestellung nicht. Injektivität ist mir ein Begriff, aber ich habe keine Idee wie ich auf die Anzahl der möglichen Abbildungen kommen soll.
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Hallo,
> Es seien [mm]m,n \in \IN[/mm] und [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] endliche Mengen mit
> [mm]\left|M_1\right|=m, \left|M_2\right|=n.[/mm]
> Bestimmen Sie die
> Anzahl möglicher Abbildungen von [mm]M_1[/mm] nach [mm]M_2[/mm]. Wieviele
> dieser Abbildungen sind injektiv?
> Injektivität ist mir ein Begriff, aber ich habe keine Idee
> wie ich auf die Anzahl der möglichen Abbildungen kommen
> soll.
Naja, die Definitionsmenge [mm] M_1 [/mm] hat m verschiedene Elemente und von diesen m Elementen könnte doch jedes auf ein beliebiges der n Elemente der Zielmenge [mm] M_2 [/mm] abbilden, also wie viele mögliche Abbildungen gibt es...?
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mi 06.11.2013 | | Autor: | jayw |
[...]
> Naja, die Definitionsmenge [mm]M_1[/mm] hat m verschiedene Elemente
> und von diesen m Elementen könnte doch jedes auf ein
> beliebiges der n Elemente der Zielmenge [mm]M_2[/mm] abbilden, also
> wie viele mögliche Abbildungen gibt es...?
m und n davon sind injektiv?
> Viele Grüße
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> m und n davon sind injektiv?
Blödsinn, wie kommst du nur darauf, nehmen wir nur mal als Beispiel:
[mm] M_1= [/mm] {1;2} und [mm] M_2= [/mm] {1;2}. Hier wär also m=2 und n=2.
Wie viele verschiedene Abbildungen kannst du hier von [mm] M_1 [/mm] nach [mm] M_2 [/mm] bilden?
Tipp: Es sind definitiv nicht 2 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Mi 06.11.2013 | | Autor: | jayw |
> > m und n davon sind injektiv?
> Blödsinn, wie kommst du nur darauf, nehmen wir nur mal
> als Beispiel:
> [mm]M_1=[/mm] {1;2} und [mm]M_2=[/mm] {1;2}. Hier wär also m=2 und n=2.
> Wie viele verschiedene Abbildungen kannst du hier von [mm]M_1[/mm]
> nach [mm]M_2[/mm] bilden?
> Tipp: Es sind definitiv nicht 2
Versteh ich nicht :) Wenn ich mir das als Mengendiagramm mit "Funktionspfeilen" vorstelle darf doch nur je ein Pfeil je Element aus [mm] M_1 [/mm] kommen, also max. 2 bei 2 Elementen in [mm] M_1?
[/mm]
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Hallo,
> > > m und n davon sind injektiv?
> > Blödsinn, wie kommst du nur darauf, nehmen wir nur mal
> > als Beispiel:
> > [mm]M_1=[/mm] {1;2} und [mm]M_2=[/mm] {1;2}. Hier wär also m=2 und n=2.
> > Wie viele verschiedene Abbildungen kannst du hier von
> [mm]M_1[/mm]
> > nach [mm]M_2[/mm] bilden?
> > Tipp: Es sind definitiv nicht 2
>
> Versteh ich nicht :) Wenn ich mir das als Mengendiagramm
> mit "Funktionspfeilen" vorstelle darf doch nur je ein Pfeil
> je Element aus [mm]M_1[/mm] kommen, also max. 2 bei 2 Elementen in
> [mm]M_1?[/mm]
Gehe doch alles durch:
Mögliche Abbildungen von [mm]M_1[/mm] nach [mm]M_2[/mm]:
1) [mm]f_1:1\mapsto 1, 2\mapsto 1[/mm]
2) [mm]f_2:1\mapsto 1, 2\mapsto 2[/mm]
3) [mm]f_3:1\mapsto 2, 2\mapsto 1[/mm]
4) [mm]f_4:1\mapsto 2, 2\mapsto 2[/mm]
Welche davon ist/sind injektiv?
Kannst du das verallgemeinern?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mi 06.11.2013 | | Autor: | jayw |
> Gehe doch alles durch:
>
> Mögliche Abbildungen von [mm]M_1[/mm] nach [mm]M_2[/mm]:
>
> 1) [mm]f_1:1\mapsto 1, 2\mapsto 1[/mm]
> 2) [mm]f_2:1\mapsto 1, 2\mapsto 2[/mm]
>
> 3) [mm]f_3:1\mapsto 2, 2\mapsto 1[/mm]
> 4) [mm]f_4:1\mapsto 2, 2\mapsto 2[/mm]
>
> Welche davon ist/sind injektiv?
2 und 3
> Kannst du das verallgemeinern?
Sowas wie [mm] m^n [/mm] Abbildungen und m davon sind injektiv? Vielleicht ist es auch zu spät für mich :)
> Gruß
>
> schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Do 07.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > Gehe doch alles durch:
> >
> > Mögliche Abbildungen von [mm]M_1[/mm] nach [mm]M_2[/mm]:
> >
> > 1) [mm]f_1:1\mapsto 1, 2\mapsto 1[/mm]
> > 2) [mm]f_2:1\mapsto 1, 2\mapsto 2[/mm]
>
> >
> > 3) [mm]f_3:1\mapsto 2, 2\mapsto 1[/mm]
> > 4) [mm]f_4:1\mapsto 2, 2\mapsto 2[/mm]
>
> >
> > Welche davon ist/sind injektiv?
> 2 und 3
Ja. Wieviele Abbildungen gibt es also?
Nimm dir jetzt mal alle Möglichen Abbildlungen [mm] $f:M\to [/mm] N$ vor, mit [mm] M:=\{a;b;c\} [/mm] und [mm] N:=\{p;q;r\}
[/mm]
Wieviele Abbildungen gibt es hier? Und wieviele davon sind injektiv?
> > Kannst du das verallgemeinern?
> Sowas wie [mm]m^n[/mm] Abbildungen und m davon sind injektiv?
Das passt so nicht.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Do 07.11.2013 | | Autor: | jayw |
> > >
> > > Welche davon ist/sind injektiv?
> > 2 und 3
>
> Ja. Wieviele Abbildungen gibt es also?
>
> Nimm dir jetzt mal alle Möglichen Abbildlungen [mm]f:M\to N[/mm]
> vor, mit [mm]M:=\{a;b;c\}[/mm] und [mm]N:=\{p;q;r\}[/mm]
>
> Wieviele Abbildungen gibt es hier? Und wieviele davon sind
> injektiv?
Damit komme ich irgendwie nicht klar. Keine Idee :(
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Hallo nochmal,
> > > >
> > > > Welche davon ist/sind injektiv?
> > > 2 und 3
> >
> > Ja. Wieviele Abbildungen gibt es also?
> >
> > Nimm dir jetzt mal alle Möglichen Abbildlungen [mm]f:M\to N[/mm]
> > vor, mit [mm]M:=\{a;b;c\}[/mm] und [mm]N:=\{p;q;r\}[/mm]
> >
> > Wieviele Abbildungen gibt es hier? Und wieviele davon sind
> > injektiv?
>
> Damit komme ich irgendwie nicht klar. Keine Idee :(
Warum nicht?
Was genau klappt nicht?
Nehmen wir direkt den allg. Fall.
$|M|=m$ und $|N|=n$
Nennen wir die Elemente von $M$ mal [mm] $a_1,a_2,...,a_m$, [/mm] die von $N$ mal [mm] $b_1,b_2,...,b_n$
[/mm]
Damit du eine Abbildung von M nach N bekommst, musst du JEDEM Element aus M ein Element aus N zuordnen
Für das erste Element [mm] $a_1$ [/mm] hast du n Möglichkeiten der Zuordnung, [mm] $b_1,...,b_n$
[/mm]
Für das zweite Element [mm] $a_2$ [/mm] ebenfalls n Möglichkeiten [mm] $b_1,...,b_n$
[/mm]
...
Für das m-te Element [mm] $a_m$ [/mm] ebenfalls
Macht insgesamt wieviele mögliche Abbildungen?
Bei den injektiven musst du halt ausschließen, dass du zwei verschiedenen Elementen aus M ein- und dasselbe ELement in N zuordnest.
Für [mm] $a_1$ [/mm] hast du n Möglichkeiten.
Für [mm] $a_2$ [/mm] dann wieviele?
usw. bis [mm] $a_m$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Do 07.11.2013 | | Autor: | jayw |
>
> Nehmen wir direkt den allg. Fall.
>
> [mm]|M|=m[/mm] und [mm]|N|=n[/mm]
>
> Nennen wir die Elemente von [mm]M[/mm] mal [mm]a_1,a_2,...,a_m[/mm], die von
> [mm]N[/mm] mal [mm]b_1,b_2,...,b_n[/mm]
>
> Damit du eine Abbildung von M nach N bekommst, musst du
> JEDEM Element aus M ein Element aus N zuordnen
>
> Für das erste Element [mm]a_1[/mm] hast du n Möglichkeiten der
> Zuordnung, [mm]b_1,...,b_n[/mm]
>
> Für das zweite Element [mm]a_2[/mm] ebenfalls n Möglichkeiten
> [mm]b_1,...,b_n[/mm]
>
> ...
>
> Für das m-te Element [mm]a_m[/mm] ebenfalls
>
> Macht insgesamt wieviele mögliche Abbildungen?
[mm] n^m!? [/mm] das meinte ich eigentlich schon als ich [mm] m^n [/mm] schrieb -.-
> Bei den injektiven musst du halt ausschließen, dass du
> zwei verschiedenen Elementen aus M ein- und dasselbe
> ELement in N zuordnest.
>
> Für [mm]a_1[/mm] hast du n Möglichkeiten.
>
> Für [mm]a_2[/mm] dann wieviele?
n-1?
>
> usw. bis [mm]a_m[/mm]
[mm] \bruch{n!}{(n-m)!} [/mm] ?
das passt, meine ich zumindest für Mengen mit der Mächtigkeit 2 und 3 :)
>
> Gruß
>
> schachuzipus
> >
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Hallo nochmal,
> >
> > Nehmen wir direkt den allg. Fall.
> >
> > [mm]|M|=m[/mm] und [mm]|N|=n[/mm]
> >
> > Nennen wir die Elemente von [mm]M[/mm] mal [mm]a_1,a_2,...,a_m[/mm], die von
> > [mm]N[/mm] mal [mm]b_1,b_2,...,b_n[/mm]
> >
> > Damit du eine Abbildung von M nach N bekommst, musst du
> > JEDEM Element aus M ein Element aus N zuordnen
> >
> > Für das erste Element [mm]a_1[/mm] hast du n Möglichkeiten der
> > Zuordnung, [mm]b_1,...,b_n[/mm]
> >
> > Für das zweite Element [mm]a_2[/mm] ebenfalls n Möglichkeiten
> > [mm]b_1,...,b_n[/mm]
> >
> > ...
> >
> > Für das m-te Element [mm]a_m[/mm] ebenfalls
> >
> > Macht insgesamt wieviele mögliche Abbildungen?
>
> [mm]n^m!?[/mm] das meinte ich eigentlich schon als ich [mm]m^n[/mm] schrieb
> -.-
Ok, stimmt!
>
> > Bei den injektiven musst du halt ausschließen, dass du
> > zwei verschiedenen Elementen aus M ein- und dasselbe
> > ELement in N zuordnest.
> >
> > Für [mm]a_1[/mm] hast du n Möglichkeiten.
> >
> > Für [mm]a_2[/mm] dann wieviele?
> n-1?
Genau!
> >
> > usw. bis [mm]a_m[/mm]
>
> [mm]\bruch{n!}{(n-m)!}[/mm] ? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> das passt, meine ich zumindest für Mengen mit der
> Mächtigkeit 2 und 3 :)
Ja, allg. auch:
Für [mm]a_1[/mm] hast du n Möglichkeiten, für [mm]a_2[/mm] dann noch n-1, für [mm]a_3[/mm] dann n-2, .., für [mm]a_m[/mm] dann noch [mm]n-m+1[/mm]
Insgesamt also [mm]n(n-1)(n-2)\cdot{}\ldots{}\cdot{}(n-m+1)[/mm]
Und das kannst du mit [mm](n-m)![/mm] erweitern und kommst auf deinen Ausdruck:
[mm]n(n-1)(n-2)\cdot{}...\cdot{}(n-m+1)=\frac{n(n-1)(n-2)\cdot{}\ldots{}\cdot{}(n-m+1)\cdot{}(n-m)!}{(n-m)!}=\frac{n!}{(n-m)!}[/mm]
Stimmt also!
Allerdings solltest du noch überlegen, wie es denn mit dem Fall $n<m$ aussieht ...
Was, wenn $N$ weniger Elemente hat als $M$?
LG
schachuzipus
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