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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:43 So 15.12.2013 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Es sei V der Vektorraum aller Abbildungen f: R-->R. Addition und Skalarmultiplikation auf V sind definiert als:
(f + g)(x) := f(x) + g(x) (f,g [mm] \in [/mm] V ; x [mm] \in [/mm] R)
(df)(x) := d f(x) (f [mm] \in [/mm] V; d,x [mm] \in [/mm] R)
[mm] x_{0} [/mm] und y seien reele Zahlen.
Zeigen Sie:
(a) Die Teilmenge [mm] V_{1} [/mm] := (f [mm] \in [/mm] V; [mm] f(x_{0}) [/mm] = 0) [mm] \subseteq [/mm] V ist ein linearer Unterraum von V .
b) Die Teilmenge [mm] V_{2} [/mm] := (f [mm] \in [/mm] V; [mm] f(x_{0}) [/mm] = y) [mm] \subseteq [/mm] V ist ein linearer Unterraum von V . |
Eine Teilmenge [mm] V_{1} \subseteq [/mm] V ist dann ein linearer Unterraum wenn die folgenden Kriterien erfüllt sind:
[mm] V_{1} [/mm] ungleich leere Menge
für alle u,v [mm] \in V_{1} [/mm] gilt u+v [mm] \in V_{1}
[/mm]
für alle u [mm] \in V_{1} [/mm] und a [mm] \in [/mm] K gilt au [mm] \in V_{1}
[/mm]
Das Element (0) der Nullvektor ist in [mm] V_{1} [/mm] enthalten also ist ungleich leere Menge erfüllt. Der Nullvektor ist das einzige Element also gilt für alle u,v
u=v=0 und u+v=0+0=0 [mm] \in V_{1}
[/mm]
sowie für alle u, a au=a0=0 [mm] \in V_{1}
[/mm]
Also ist [mm] V_{1} [/mm] linearer Unterraum von V.
b)
Eine Teilmenge [mm] V_{2} [/mm] heißt affiner Unterraum wenn es einen linearen Unterraum [mm] V_{1} [/mm] von V gibt so dass [mm] V_{2}= v+V_{1}=
[/mm]
(v+u, u [mm] \in V_{1}) [/mm] mit v [mm] \in [/mm] V ein Vektor aus V.
Für [mm] V_{2}=(f(x_{0}) [/mm] = (y) muss deshalb gelten [mm] y=v+V_{1} [/mm]
aus a) ist [mm] V_{1}=(0) [/mm] linearer Unterraum und somit y=v+0
und daher y=v=y y [mm] \in [/mm] V also ist die Bedingung erfüllt und [mm] V_{2} [/mm] ist affiner Unterraum.
Ist das korrekt und ausreichend? Vielen Dank im Vorraus.
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> Es sei V der Vektorraum aller Abbildungen f: R-->R.
> Addition und Skalarmultiplikation auf V sind definiert
> als:
> (f + g)(x) := f(x) + g(x) (f,g [mm]\in[/mm] V ; x [mm]\in[/mm] R)
>
> (df)(x) := d f(x) (f [mm]\in[/mm] V; d,x [mm]\in[/mm] R)
>
> [mm]x_{0}[/mm] und y seien reele Zahlen.
>
> Zeigen Sie:
>
> (a) Die Teilmenge [mm]V_{1}[/mm] := (f [mm]\in[/mm] V; [mm]f(x_{0})[/mm] = 0)
> [mm]\subseteq[/mm] V ist ein linearer Unterraum von V .
>
> b) Die Teilmenge [mm]V_{2}[/mm] := (f [mm]\in[/mm] V; [mm]f(x_{0})[/mm] = y)
> [mm]\subseteq[/mm] V ist ein linearer Unterraum von V .
> Eine Teilmenge [mm]V_{1} \subseteq[/mm] V ist dann ein linearer
> Unterraum wenn die folgenden Kriterien erfüllt sind:
> [mm]V_{1}[/mm] ungleich leere Menge
>
> für alle u,v [mm]\in V_{1}[/mm] gilt u+v [mm]\in V_{1}[/mm]
>
> für alle u [mm]\in V_{1}[/mm] und a [mm]\in[/mm] K gilt au [mm]\in V_{1}[/mm]
>
> Das Element (0) der Nullvektor ist in [mm]V_{1}[/mm] enthalten also
> ist ungleich leere Menge erfüllt. Der Nullvektor ist das
> einzige Element also gilt für alle u,v
> u=v=0 und u+v=0+0=0 [mm]\in V_{1}[/mm]
> sowie für alle u, a
> au=a0=0 [mm]\in V_{1}[/mm]
> Also ist [mm]V_{1}[/mm] linearer Unterraum von
> V.
>
Du setzt falsch voraus, dass in [mm] $V_1$ [/mm] nur die 0 enthalten ist. Die Menge beschreibt aber Funktionen, die (zumindest) an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] eine Nullstelle haben. Davon gibt es ein paar mehr als nur die Nullfunktion.
Deshalb musst du einfach nur stur das nachrechnen, was du als Kriterium nennst:
Seien $f, g [mm] \in V_1$.
[/mm]
Dann: [mm] $(f+g)(x_0) [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] g(x_0) [/mm] = 0 + 0 = 0$
(1. Schritt: Linearität der Funktionen, 2. Schritt: Definition der Menge [mm] $V_1$)
[/mm]
Damit ist also auch $f+g [mm] \in V_1$
[/mm]
Der zweite Nachweis geht genauso und nicht leer kannst du wie gemacht argumentieren.
> b)
>
> Eine Teilmenge [mm]V_{2}[/mm] heißt affiner Unterraum wenn es einen
> linearen Unterraum [mm]V_{1}[/mm] von V gibt so dass [mm]V_{2}= v+V_{1}=[/mm]
>
> (v+u, u [mm]\in V_{1})[/mm] mit v [mm]\in[/mm] V ein Vektor aus V.
> Für [mm]V_{2}=(f(x_{0})[/mm] = (y) muss deshalb gelten [mm]y=v+V_{1}[/mm]
> aus a) ist [mm]V_{1}=(0)[/mm] linearer Unterraum und somit y=v+0
> und daher y=v=y y [mm]\in[/mm] V also ist die Bedingung erfüllt
> und [mm]V_{2}[/mm] ist affiner Unterraum.
>
In der Aufgabenstellung hast du dich verschrieben, dort steht "linearer Unterraum", aber es ist tatsächlich ja "nur" ein affiner Unterraum.
Deine "Argumentation" ist für mich nicht nachvollziehbar, deswegen gehe ich davon aus, dass das auch nicht reichen würde.
Die Idee ist wieder richtig, d.h. du musst zeigen, dass sich alle Elemente aus [mm] $V_2$ [/mm] als Summe eines einzelnen Vektors aus $V$ und einem beliebigen Vektor aus einem Unterraum von $V$ darstellen lässt.
Dazu brauchst du diesen Vektor $v [mm] \in [/mm] V$. Hier ist das sehr einfach, weil dieser Vektor die Funktion $f(x) = y$ ist, wenn du dazu den Unterraum aus a) addierst. (Evtl. musst du noch nachweisen, dass wirklich $f [mm] \in [/mm] V$ ist.)
Jetzt noch aufschreiben, dass sich tatsächlich jeder Vektor aus [mm] $V_2$ [/mm] als Summe dieser Funktion und einer beliebigen aus [mm] $V_1$ [/mm] schreiben lässt:
Sei [mm] $g_1 \in V_1$ [/mm] beliebig, $f [mm] \in [/mm] V$ definiert durch $f(x) = y$.
Dann ist:
$(f + [mm] g_1) (x_0) [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] g_1(x_0) [/mm] = y + 0 = y$
Damit ist gezeigt, dass jede so geschriebene Funktion in [mm] $V_2$ [/mm] liegt. Es fehlt noch der Nachweis, dass es keine anderen Funktionen in [mm] $V_2$ [/mm] gibt (zum Vergleich: Wenn wir nachweisen, dass alle natürlichen Zahlen in einer Menge drin liegen, ist noch lange nicht klar, dass diese Menge [mm] $\IN$ [/mm] sein muss), d.h. dass sich eine beliebige Funktion aus [mm] $V_2$ [/mm] in dieser Art schreiben lässt.
Sei also [mm] $f_2 \in V_2$ [/mm] beliebig.
[mm] $f_2(x_0) [/mm] = y = y + 0 = [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] g(x_0) [/mm] = [mm] (f+g)(x_0)$
[/mm]
1./2. Schritt klar, der 3. Schritt geht wegen der Definition von $f$ und für ein beliebiges $g [mm] \in V_1$.
[/mm]
Ich bin nicht 100%ig sicher, ob das schon reicht, aber wenn nicht, findest du es mit den Hilfen bestimmt jetzt leichter heraus.
> Ist das korrekt und ausreichend? Vielen Dank im Vorraus.
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