Abbildungen: linear? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:14 So 30.05.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo an Alle,
Meine Frage ist: Was muss ich beachten beim beweisen der Linearität von Abbildungen?
Im Buch von Gerd Fischer (LA) steht:
Eine Abbildung $F: V [mm] \rightarrow [/mm] W $ zwischen K-Vektorräumen $V$ und $W$
heisst linear wenn,
L1: $F(v+w) = F(v) + F(w)$,
L2: [mm] $F(\lambda [/mm] v) = [mm] \lambda [/mm] F(v)$
für alle $v$, $w [mm] \in [/mm] V$ und alle [mm] $\lambda \in [/mm] K$.
Nun bei meiner Aufgabenstellung ist z.B. so etwas angegeben:
Also halt die Frage:
Welche der folgenden Abbildungen sind linear?
(a) $z [mm] \mapsto \bar [/mm] z : [mm] \IC \mapsto \IC [/mm] $ (über [mm] $\IR$ [/mm] )
(b) $z [mm] \mapsto \bar [/mm] z : [mm] \IC \mapsto \IC [/mm] $ (über [mm] $\IC$ [/mm] )
Ich habe nicht herausfinden können, was dabei
die (über [mm] $\IR$) [/mm] und im zweiten (über [mm] $\IC$) [/mm] eine Rolle spielt.
Ich weiss zwar dass eine komplexe Zahl gleich eine reele Zahl,
falls sein imaginär Teil null ist, aber es verwirrt mich einbisschen weil
da ja [mm] $\IC \mapsto \IC$ [/mm] steht bei beiden.
Und dann wollte ich noch fragen, ob ich folgendes als Regel für
Linearität von Abbildungen hierfür nutzen Kann:
Abbildung: $F:V [mm] \mapsto [/mm] W$
L1: $F(x+y)= F(x) + F(y)$
L2: $F( [mm] \lambda \cdot [/mm] x ) = [mm] \lambda \cdot [/mm] F(x)$
Vielen danke und schönen Sonntag noch
Nevinpol
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 So 30.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Ergänzt und optisch 'verschönert' um 14.40 Uhr; Danke, Paul!!! 
Hallo Nevinpol,
ich gebe dir mal einen Tipp:
Überlege dir einmal, was das eigentlich heisst:
Vektorraum über [mm] $\IR$.
[/mm]
Was heisst: Vektorraum über [mm] $\IC$?
[/mm]
Wenn es dir nicht klar ist, dann überdenke meinen folgenden Tipp zu deiner Aufgabe:
Um L1 zu überprüfen, spielt es keine Rolle, du musst nur überprüfen, ob
$z+w [mm] \mapsto \overline{z+w}$ [/mm] das gleiche ergibt wie:
$z+w [mm] \mapsto \bar [/mm] z + [mm] \bar [/mm] w$ und zwar für alle $z,w [mm] \in \IC$.
[/mm]
Um L2 zu überprüfen, musst du (wenn du es als VR (meine Abkürzung für Vektorraum) über [mm] $\IR$ [/mm] betrachtest), kontrollieren, ob:
[mm] $\lambda [/mm] z [mm] \mapsto \overline{\lambda z}$ [/mm] für alle [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] das gleiche ergibt wie:
[mm] $\lambda [/mm] z [mm] \mapsto \lambda* \bar [/mm] z$ [mm] ($\forall [/mm] z [mm] \in \IC$).
[/mm]
Das entscheidende ist, dass hier [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] steht, weil wir es als VR über [mm] $\IR$ [/mm] betrachten.
Betrachtest du es als VR über [mm] $\IC$, [/mm] so musst du L2 für alle [mm]\lambda \in \IC[/mm] nachweisen oder halt mit einem Gegenbeispiel widerlegen.
Ich hoffe, das hilft dir weiter
Ein weiterer Tipp:
Um L1 bzw. L2 zu überprüfen, könnte es hilfreich sein, komplexe Zahlen in Real- und Imaginärteil zu zerlegen...
Würdest du uns vielleicht noch deine Ergebnisse zur Kontrolle mitteilen? Und vielleicht einmal versuchen, in eigenen Worten zu erklären, worauf sich das $K$ bezieht bei einem Vektorraum über $K$, damit wir auch wirklich sehen, dass du es verstanden hast?
Viele Grüsse
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Mo 31.05.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo Marcel,
vielen Dank für deine Antwort. Ich habe gemerkt,
was diese Aufgabe eigentlich beibringen soll. Ich habe jetzt zwar
verstanden was dieses (über [mm] $\IR$) [/mm] oder (über [mm] $\IC$) [/mm] bedeutet, kann es
mir aber nicht so erklären was das eigentlich sachlich bedeutet. Jedenfalls
weiss ich was ich machen muss, wenn in einer Aufgabe so etwas steht.
Auch schon was
Eeemm also hier sind meine Lösungen:
Aufgabe) Welche der folgenden Abbildungen sind linear?
(a) $z [mm] \mapsto \overline{z}: \IC \rightarrow \IC [/mm] $ (über [mm] $\IR$)
[/mm]
Meine Lösung zu (a):
Im folgenden gilt: $x,y [mm] \in \IC$ [/mm] und [mm] $\lambda \in \IR$
[/mm]
L1:
$F(x+y) = F(x)+F(y)$
[mm] $\gdw \overline{x+y} [/mm] = [mm] \overline{x} [/mm] + [mm] \overline{y}$
[/mm]
[mm] $\gdw (x+y)_{a} [/mm] - [mm] (x+y)_b \cdot [/mm] i = [mm] x_a [/mm] - [mm] x_b \cdot [/mm] i + [mm] y_a [/mm] - [mm] y_b \cdot [/mm] i$
[mm] $\gdw x_a [/mm] + [mm] y_a [/mm] - [mm] (x_b [/mm] + [mm] y_b) \cdot [/mm] i = [mm] x_a [/mm] - [mm] x_b \cdot [/mm] i + [mm] y_a [/mm] - [mm] y_b \cdot [/mm] i $
[mm] $\gdw x_a [/mm] + [mm] y_a [/mm] - [mm] x_b \cdot [/mm] i - [mm] y_b \cdot [/mm] i = [mm] x_a [/mm] - [mm] x_b \cdot [/mm] i + [mm] y_a [/mm] - [mm] y_b \cdot [/mm] i $
[mm] $\gdw x_a [/mm] - [mm] x_b \cdot [/mm] i + [mm] y_a [/mm] - [mm] y_b \cdot [/mm] i = [mm] x_a [/mm] - [mm] x_b \cdot [/mm] i + [mm] y_a [/mm] - [mm] y_b \cdot [/mm] i $
L1 erfüllt!
Frage: Hätte ich bei L1 auch folgendes machen
können und es wäre trotzdem erfüllt??
[mm] $\gdw \overline{x+y} [/mm] = [mm] \overline{x} [/mm] + [mm] \overline{y}$
[/mm]
[mm] $\gdw \overline{x} [/mm] + [mm] \overline{y} [/mm] = [mm] \overline{x} [/mm] + [mm] \overline{y}$
[/mm]
L2:
[mm] $F(\lambda \cdot [/mm] x) = [mm] \lambda \cdot [/mm] F(x)$
[mm] $\gdw \overline{\lambda \cdot x} [/mm] = [mm] \lambda \cdot \overline{x}$
[/mm]
[mm] $\gdw \overline{\lambda} \cdot \overline{x} [/mm] = [mm] \lambda \cdot \overline{x}$
[/mm]
[mm] $\gdw (\lambda_a [/mm] - [mm] \lambda_b \cdot [/mm] i) [mm] \cdot (x_a [/mm] - [mm] x_b \cdot [/mm] i) = [mm] (\lambda_a [/mm] + [mm] \lambda_b \cdot [/mm] i) [mm] \cdot (x_a [/mm] - [mm] x_b \cdot [/mm] i)$
Da [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] gilt: [mm] $\lambda_b [/mm] = 0$. Somit folgt:
[mm] $\gdw (\lambda_a [/mm] - 0) [mm] \cdot (x_a [/mm] - [mm] x_b \cdot [/mm] i) = [mm] (\lambda_a [/mm] + 0) [mm] \cdot (x_a [/mm] - [mm] x_b \cdot [/mm] i)$
[mm] $\gdw (\lambda_a) \cdot (x_a [/mm] - [mm] x_b \cdot [/mm] i) = [mm] (\lambda_a) \cdot (x_a [/mm] - [mm] x_b \cdot [/mm] i)$
L2 ist auch erfüllt. Also ist bewiesen, dass die Abbildung
$z [mm] \mapsto \overline{z}: \IC \rightarrow \IC [/mm] $ (über [mm] $\IR$) [/mm] linear ist.
(b) $z [mm] \mapsto \overline{z}: \IC \rightarrow \IC [/mm] $ (über [mm] $\IC$)
[/mm]
Meine Lösung zu (b):
Im folgenden gilt: [mm] $x,y,\lambda \in \IC$ [/mm]
L1: Genauso wie bei (a)
L2:
[mm] $F(\lambda \cdot [/mm] x) = [mm] \lambda \cdot [/mm] F(x)$
[mm] $\gdw \overline{\lambda \cdot x} [/mm] = [mm] \lambda \cdot \overline{x}$
[/mm]
[mm] $\gdw \overline{\lambda} \cdot \overline{x} [/mm] = [mm] \lambda \cdot \overline{x}$
[/mm]
[mm] $\gdw (\lambda_a [/mm] - [mm] \lambda_b \cdot [/mm] i) [mm] \cdot (x_a [/mm] - [mm] x_b \cdot [/mm] i) = [mm] (\lambda_a [/mm] + [mm] \lambda_b \cdot [/mm] i) [mm] \cdot (x_a [/mm] - [mm] x_b \cdot [/mm] i)$
[mm] $\gdw \lambda_a [/mm] - [mm] \lambda_b \cdot [/mm] i = [mm] \lambda_a [/mm] + [mm] \lambda_b \cdot [/mm] i $
[mm] $\gdw [/mm] - [mm] \lambda_b \cdot [/mm] i = + [mm] \lambda_b \cdot [/mm] i $
Widerspruch! Also wird L2 nicht erfüllt, somit ist die Abbildung
$z [mm] \mapsto \overline{z}: \IC \rightarrow \IC [/mm] $ (über [mm] $\IC$) [/mm] nicht linear!
![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]")
Ich habe noch 5 andere Abbildungen die ich auf Linearität prüfe,
ich werde meine Lösungen zu diesem 5 auch in diesem Thread
reinstellen, vielleicht guckt ja jemand nach Fehler ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Schönen Feiertag noch an Alle...
Grüsse
nevinpol
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Mo 31.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nevinpol,
> Hallo Marcel,
> vielen Dank für deine Antwort. Ich habe gemerkt,
> was diese Aufgabe eigentlich beibringen soll. Ich habe jetzt zwar
> verstanden was dieses (über [mm] $\IR$) [/mm] oder (über [mm] $\IC$ [/mm] ) bedeutet, kann
> es mir aber nicht so erklären was das eigentlich sachlich bedeutet.
Da weiß ich jetzt nicht, worauf du hinaus willst. Dieses 'über [mm] $\IR$' [/mm] bzw. 'über [mm] $\IC$' [/mm] gibt dir an, aus welchem Körper die Skalaren genommen werden. Vielleicht ist es jetzt klarer?
> Jedenfalls weiss ich was ich machen muss, wenn in einer Aufgabe so
> etwas steht. Auch schon was
Nicht nur was, sondern das ist das entscheidende 
> Eeemm also hier sind meine Lösungen:
> $--------------------------------------------------------------------------------$
> Aufgabe) Welche der folgenden Abbildungen sind linear?
> $--------------------------------------------------------------------------------$
> (a) $z [mm] \mapsto \bar [/mm] z: [mm] \IC \rightarrow \IC$ [/mm] (über [mm] $\IR$ [/mm] )
> $--------------------------------------------------------------------------------$
> Meine Lösung zu (a):
> Im folgenden gilt ( besser: gelte): $x,y [mm] \in \IC$ [/mm] und [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> L1: ...
Entschuldige, ich möchte nicht alles noch einmal abtippen.
( Dazu muss ich jetzt sagen, dass mir der Button 'Zitat' beim Antworten gar nicht aufgefallen war und ich ihn deshalb noch nie benutzt habe. Marc hat mich freundlicherweise darauf aufmerksam gemacht, jetzt brauche ich nicht immer Texte zu kopieren und die Formeln von Hand einzufügen, sondern kann das mit diesem schönen Button machen ; Kommentar um 00.24Uhr am 01.06.2004)
Du meinst hier vermutlich, wenn $z [mm] \in \IC$, [/mm] mit [mm] $z_a$ [/mm] den Realteil von $z$ und mit [mm] $z_b$ [/mm] den Imaginärteil? Falls ja, so sollte das alles stimmen, obwohl du nur die Folgerungen von unten nach oben brauchst
L1 erfüllt! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Frage: Hätte ich bei L1 auch folgendes machen
> können und es wäre trotzdem erfüllt??
> [mm] \overline{x+y}=\bar x + \bar y
\gdw \bar x + \bar y = \bar x + \bar y[/mm]
Das sollst du doch zeigen. Es sei denn, in der Vorlesung wurde schon einmal gezeigt, dass [mm] $\overline{x+y}=\bar [/mm] x + [mm] \bar [/mm] y$ gilt. Dann dürftest du es natürlich benutzen, in etwa so:
Aus der Vorlesung ist bekannt:
Für $x,y [mm] \in \IC$ [/mm] gilt:
[mm] $\overline{x+y}=\bar [/mm] x + [mm] \bar [/mm] y$.
Daraus folgt:
$F(x+y)=F(x)+F(y)$, womit L1 gezeigt wäre!
> L2:
...
(Auch hier tippe ich deine Rechnungen nicht noch einmal ab )
> Da [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] gilt: [mm] $\lambda_b=0$ [/mm] .
(aber warum hast du das hier nicht schon am Anfang von L2 benutzt? Für [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] gilt doch: [mm] $\bar \lambda=\lambda$)
[/mm]
> Somit folgt:...
Auch hier hätte ich das ganze von unten nach oben notiert. Aber es ist auch so korrekt (bis darauf, dass du den Fall $x=0 [mm] \in \IC$ [/mm] gesondert betrachten solltest, damit du auch immer [mm] $\gdw$ [/mm] benutzen kannst (oder an entsprechender Stelle darauf hinweist, dass du dir über diesen Fall Gedanken gemacht hast und er keine Probleme bereitet); wenn du es von unten nach oben schreibst und nur die Folgerungen in dieser Richtung (also von unten nach oben) benutzt, hast du das Problem nicht ).
> L2 ist auch erfüllt. Also ist bewiesen, dass die Abbildung
> (über [mm] $\IR$ [/mm] ) linear ist.
> $--------------------------------------------------------------------------------$
> (b) $z [mm] \mapsto \bar [/mm] z: [mm] \IC \rightarrow \IC$ [/mm] (über [mm] $\IC$) [/mm]
> $--------------------------------------------------------------------------------$
> Meine Lösung zu (b):...
> ...
> [mm] -\lambda_b*i=+\lambda_b*i
[/mm]
Widerspruch! ( und im Falle [mm] $\lambda_b=0$? [/mm] Punktabzug:[mm]-\frac{1}{2}[/mm] . Und was, wenn $x=0$ ist? Dann teilst du an einer Stelle durch $0$, also wieder Punktabzug: [mm]-\frac{1}{2}[/mm] ).
Also wird L2 ( i.A. ) nicht erfüllt, somit ist die Abbildung (über [mm] $\IC$) [/mm] nicht linear!
Am besten widerlegst du es (die Linearität) mit einem konkreten Beispiel (bezogen auf L2) (z.B. $x=1 [mm] \in \IC$, $\lambda=i \in \IC$), [/mm] mit meinen Hinweisen bzw. Ergänzungen, die sich daraus ergeben, sollte die Lösung aber auch akzeptiert werden!).
> Ich habe noch 5 andere Abbildungen die ich auf Linearität prüfe,
> ich werde meine Lösungen zu diesem 5 auch in diesem Thread
> reinstellen, vielleicht guckt ja jemand nach Fehler
Ich weiß nicht, wann (ob) ich die Zeit dazu finde, aber ich bin ja nicht alleine
> Schönen Feiertag noch an Alle...
Dir auch!!!
Viele Grüße
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Mo 31.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nevinpol,
ich möchte dir einmal zeigen, wie ich das ganze notiert hätte (das ist aber nicht zwingend). Also:
1.Fall: (über [mm] $\IR$):
[/mm]
L1: Seien $x,y [mm] \in \IC$ [/mm] beliebig, aber fest. Dann gilt:
[mm]0=0
\Rightarrow[/mm]
[mm] \bar{x} + \bar{y}=\bar{x} + \bar{y}
\Rightarrow
(\overline{x_a+x_b*i})+(\overline{y_a+y_b*i})=\bar x + \bar y[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $(x_a-x_b*i)+(y_a-y_b*i)=\bar [/mm] x + [mm] \bar [/mm] y$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm](x_a+y_a)-(x_b+y_b)*i=\bar x + \bar y
\Rightarrow[/mm]
[mm]\overline{(x_a+y_a)+(x_b+y_b)*i}=\bar x + \bar y
\Rightarrow
\overline{x+y}=\bar x + \bar y
\Rightarrow[/mm]
$F(x+y)=F(x)+F(y)$
Also ist L1 erfüllt.
L2: Seien [mm] $\lambda \in \IR, [/mm] x [mm] \in \IC$ [/mm] beliebig, aber fest.
Da [mm] $\lambda \in \IR$, [/mm] folgt:
[mm] $\lambda_b=0$. [/mm] Dies impliziert:
[mm]\lambda=\lambda_a+\lambda_b*i=\lambda_a+0*i=\lambda_a-0*i=\lambda_a-\lambda_b*i=\bar{\lambda}[/mm].
Daraus folgt:
[mm] \overline{\lambda*x}=\bar{\lambda}*\bar{x}=\lambda*\bar{x}[/mm]
(Die Beziehung [mm] \overline{\lambda*x}=\bar{\lambda}*\bar{x}[/mm] [mm]\forall \lambda,x \in \IC[/mm] scheint dir ja bekannt zu sein; sie läßt sich aber auch leicht nachrechnen ), also:
[mm] $\overline{\lambda*x}=\lambda*\bar{x}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $F(\lambda*x)=\lambda*F(x)$
[/mm]
Also ist F linear, wenn man es als VR über [mm] $\IR$ [/mm] betrachtet, weil sowohl L1 als auch L2 erfüllt ist.
2. Fall: (über [mm] $\IC$)
[/mm]
Behauptung: F ist nicht linear.
Um die Behauptung zu zeigen, genügt es, zu zeigen, dass [mm]F(i*1) \ne i*F(1)[/mm], weil dann L2 nicht erfüllt ist.
Also:
Es gilt:
[mm]F(i*1)=\overline{i*1}=\bar{i}=-i\ne i=i*1=i*\bar{1}=i*F(1) [/mm].
Also kann in diesem Fall $F$ nicht linear sein!
Viele Grüße
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Mo 31.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo nevinpol,
> Ich habe gemerkt,
> was diese Aufgabe eigentlich beibringen soll. Ich habe
> jetzt zwar
> verstanden was dieses (über [mm] $\IR$) [/mm] oder (über [mm] $\IC$) [/mm]
> bedeutet, kann es
> mir aber nicht so erklären was das eigentlich sachlich
> bedeutet. Jedenfalls
> weiss ich was ich machen muss, wenn in einer Aufgabe so
> etwas steht.
Vorstellen kannst du es dir vielleicht so:
Eine komplexe Zahl [mm] $z=a+b*i\in\IC$ [/mm] könntest du ja auch als zweidimensionalen Vektor über [mm] $\IR$ [/mm] auffassen: [mm] $\vektor{a\\b}\in\IR^2$.
[/mm]
Insofern besteht eine eineindeutige Zuordnung zwischen einer komplexen Zahl und einem reellen Zahlenpaar, also einem Vektor [mm] $\in\IC^1$ [/mm] und einem Vektor [mm] $\in\IR^2$.
[/mm]
Die Abbildung [mm] $z\mapsto\bar [/mm] z$ bzw. [mm] $a+bi\mapsto [/mm] a-bi$ stellt sich dann über [mm] \IR [/mm] einfach dar als:
[mm] $\vektor{a\\b}\mapsto\vektor{a\\-b}$
[/mm]
Vielleicht wurde es damit ein bisschen klarer...
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Di 01.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo,
(c) $t [mm] \mapsto [/mm] 2 [mm] \cdot t^{2}: \IR \rightarrow \IR$
[/mm]
L1: Seien $x,y [mm] \in \IR$.
[/mm]
$F(x+y)=F(x)+F(y)$
[mm] $\gdw [/mm] 2 [mm] \cdot (x+y)^{2} [/mm] = 2 [mm] \cdot x^2 [/mm] + 2 [mm] \cdot y^2$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 2 [mm] \cdot (x^2 [/mm] + 2xy + [mm] y^2) [/mm] = 2 [mm] \cdot (x^2 [/mm] + [mm] y^2)$ [/mm]
[mm] $\gdw x^2 [/mm] + 2xy + [mm] y^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2$
[/mm]
Widerspruch! Also ist L1 nicht erfüllt und die Abbildung ist nicht linear!
Frage: Wäre der Beweis hier schon zu Ende oder müsste ich noch L2 ausführen?
Wenn ich L2 noch zeigen soll, dann habe ich noch folgendes dazu aufgeschrieben:
L2: Seien [mm] $\lambda, [/mm] x [mm] \in \IR$.
[/mm]
[mm] $F(\lambda \cdot [/mm] x) = [mm] \lambda \cdot [/mm] F(x)$
[mm] $\gdw [/mm] 2 [mm] \cdot (\lambda \cdot x)^2 [/mm] = [mm] \lambda \cdot [/mm] (2 [mm] \cdot x^2)$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 2 [mm] \cdot \lambda^2 \cdot x^2 [/mm] = [mm] \lambda \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot x^2$
[/mm]
[mm] $\gdw \lambda^2 \cdot x^2 [/mm] = [mm] \lambda \cdot x^2$
[/mm]
L2 ist nicht erfüllt, außer im Falle dass $x=0$ und/oder [mm] $\lambda=0$ [/mm] ist. Dann wäre
L2 erfüllt.
Und dann habe ich noch folgende Aufgaben:
Bei denen weiss ich nicht was ich, wo einsetzen soll:
$f [mm] \mapsto [/mm] f(4) : [mm] Abb(\IR,\IR) \rightarrow \IR$
[/mm]
und $exp : [mm] \IR \rightarrow \IR$.
[/mm]
Wenn ich nur wüsste wie ich einsetze könnte ich den Beweis mit
den Tipps in vorigen Posts von Marcel und Marc noch selbst
weiterführen denke ich...
Gruss
nevinpol
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Di 01.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nevinpol,
> Hallo,
>
> (c) $t [mm] \mapsto [/mm] 2 [mm] \cdot t^{2}: \IR \rightarrow \IR$
[/mm]
>
> L1: Seien $x,y [mm] \in \IR$.
[/mm]
>
> $F(x+y)=F(x)+F(y)$
> [mm] $\gdw [/mm] 2 [mm] \cdot (x+y)^{2} [/mm] = 2 [mm] \cdot x^2 [/mm] + 2 [mm] \cdot y^2$
[/mm]
> [mm] $\gdw [/mm] 2 [mm] \cdot (x^2 [/mm] + 2xy + [mm] y^2) [/mm] = 2 [mm] \cdot (x^2 [/mm] + [mm] y^2)$ [/mm]
>
> [mm] $\gdw x^2 [/mm] + 2xy + [mm] y^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2$
[/mm]
>
> Widerspruch! Also ist L1 nicht erfüllt und die Abbildung
> ist nicht linear!
Auch hier solltest du schreiben, dass es i.A. (im Allgemeinen) ein Widerspruch ist, sonst sage ich: Wieso? Für $x=0$ und $y=1$ ist das doch kein Widerspruch?
Am besten ziehst du hier für $x$ und $y$ wieder konkrete Zahlen heran:
z.B. $x=1,y=2$, dann ist nämlich:
[m]F(x+y)=F(1+2)=F(3)=2*3^2=18\ne10=2*1^2+2*2^2=F(1)+F(2)=F(x)+F(y)[/m]
>
> Frage: Wäre der Beweis hier schon zu Ende oder müsste ich
> noch L2 ausführen?
Der Beweis wäre hier schon zu Ende, denn eine Funktion ist genau dann linear, wenn L1 und L2 erfüllt ist. Ist also L1 oder L2 nicht erfüllt, dann ist die Funktion nicht linear. Klar?
>
> Wenn ich L2 noch zeigen soll, dann habe ich noch folgendes
> dazu aufgeschrieben:
>
> L2: Seien [mm] $\lambda, [/mm] x [mm] \in \IR$.
[/mm]
>
>
> [mm] $F(\lambda \cdot [/mm] x) = [mm] \lambda \cdot [/mm] F(x)$
> [mm] $\gdw [/mm] 2 [mm] \cdot (\lambda \cdot x)^2 [/mm] = [mm] \lambda \cdot [/mm] (2 [mm] \cdot [/mm]
> [mm] x^2)$
[/mm]
> [mm] $\gdw [/mm] 2 [mm] \cdot \lambda^2 \cdot x^2 [/mm] = [mm] \lambda \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm]
> [mm] x^2$
[/mm]
> [mm] $\gdw \lambda^2 \cdot x^2 [/mm] = [mm] \lambda \cdot x^2$
[/mm]
>
> L2 ist nicht erfüllt, außer im Falle dass $x=0$ und/oder
> [mm] $\lambda=0$ [/mm] ist. Dann wäre
> L2 erfüllt.
Wie gesagt, wenn du L1 schon widerlegt hast, brauchst du L2 nicht auch noch zu widerlegen. Aber:
Erstens:
Ein mathematisches 'oder' ist immer ein 'und'-einschließendes 'oder'.
Wenn du also sagst:
$x=0$ oder [mm] $\lambda=0$, [/mm] so schließt du den Fall:
$x=0$ und [mm] $\lambda=0$ [/mm] ein.
Zweitens:
Dir fehlt bei deinem 'außer' auch noch etwas:
Was ist z.B. mit [mm] $\lambda=1$?
[/mm]
Deswegen:
Um L2 zu widerlegen, ziehst du auch hier am besten konkrete Zahlen heran. Z.B. [mm] $\lambda=-1$ [/mm] und $x=1$.
>
> Und dann habe ich noch folgende Aufgaben:
> Bei denen weiss ich nicht was ich, wo einsetzen soll:
>
> $f [mm] \mapsto [/mm] f(4) : [mm] Abb(\IR,\IR) \rightarrow \IR$
[/mm]
>
Naja, seien $f,g [mm] \in Abb(\IR,\IR)$. [/mm] Nun brauchst du eine Definition des "+", ich gehe von der üblichen aus, dann ergibt sich:
$f+g [mm] \mapsto [/mm] (f+g)(4)=f(4)+g(4)$, und weil $f [mm] \mapsto [/mm] f(4)$ und [m]g \mapsto g(4)[/m] gilt, ist L1 erfüllt.
Der Einfachheit halber gehe ich auch mal davon aus, dass du hier wieder einen [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] betrachtest.
Sei also [mm] $\lambda \in \IR$, [/mm] dann folgt:
[mm] $\lambda [/mm] f [mm] \mapsto (\lambda*f)(4)$, [/mm] und normalerweise faßt man dieses 'Mal' dann so auf:
[mm] $(\lambda*f)(4)=\lambda*f(4)$.
[/mm]
Damit ist auch L2 erfüllt, also Linearität erfüllt.
> und $exp : [mm] \IR \rightarrow \IR$.
[/mm]
Sehe ich das richtig, dass du hier meinst:
Ist $f: [mm] \IR \rightarrow \IR$, [/mm] $f(x):=exp(x)$ linear?
Falls ja, dann berechne mal $exp(4)=exp(2+2)$ und vergleiche mit [m]exp(2)+exp(2)[/m].
Viele Grüße
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Di 01.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo Marcel,
vielen Dank für deine Hilfen und deine Zeit!
>Auch hier solltest du schreiben, dass es i.A. (im Allgemeinen) ein
>Widerspruch ist, sonst sage ich: Wieso? Für $x=0$ und $y=1$ ist das doch kein Widerspruch?
>Am besten ziehst du hier für $x$ und $y$ wieder konkrete Zahlen heran:
>z.B. $x=1,y=2$, dann ist nämlich:
>[m]F(x+y)=F(1+2)=F(3)=2*3^2=18\ne10=2*1^2+2*2^2=F(1)+F(2)=F(x)+F(y)[/m]
Also wenn ich jetzt konkrete Zahlen nehme sowie du es oben
vorschlägst, ist es dann nicht auch so, dass ich nur den Beweis
der Linearität für eben diese konkrete Zahlen beweise und
die anderen Fälle unbetrachtet sind? Also wenn ich z.B.
$x=1,y=2$ einsetzte, könnte der Tutor nicht
auch Punkte abziehen, weil er dann ja sagen könnte:
du hast aber nicht angegeben, wie es ist wenn
$x=0,y=0$ ist ?
Liebe Grüsse
nevinpol
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Di 01.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nevinpol,
> Hallo Marcel,
>
> vielen Dank für deine Hilfen und deine Zeit!
Bittesehr!
> >Auch hier solltest du schreiben, dass es i.A. (im
> Allgemeinen) ein
> >Widerspruch ist, sonst sage ich: Wieso? Für $x=0$ und
> $y=1$ ist das doch kein Widerspruch?
> >Am besten ziehst du hier für $x$ und $y$ wieder konkrete
> Zahlen heran:
> >z.B. $x=1,y=2$, dann ist nämlich:
>
> >[m]F(x+y)=F(1+2)=F(3)=2*3^2=18\ne10=2*1^2+2*2^2=F(1)+F(2)=F(x)+F(y)[/m]
>
>
> Also wenn ich jetzt konkrete Zahlen nehme sowie du es oben
>
> vorschlägst, ist es dann nicht auch so, dass ich nur den
> Beweis
> der Linearität für eben diese konkrete Zahlen beweise und
>
> die anderen Fälle unbetrachtet sind? Also wenn ich z.B.
>
> $x=1,y=2$ einsetzte, könnte der Tutor nicht
> auch Punkte abziehen, weil er dann ja sagen könnte:
> du hast aber nicht angegeben, wie es ist wenn
> $x=0,y=0$ ist ?
Wenn du die Linearität beweisen würdest, dann dürftest du natürlich nicht konkrete Zahlen heranziehen. Du widerlegst sie aber.
Bei L1 heißt es doch für einen VR $V$:
Für alle $x,y [mm] \in [/mm] V$ muss gelten:
(I) $f(x+y)=f(x)+f(y)$.
Wenn du nun aber $x,y [mm] \in [/mm] V$ findest, so dass [m]f(x+y) \ne f(x)+f(y)[/m] gilt, dann ist (I) ja nicht für alle $x,y [mm] \in [/mm] V$ erfüllt.
Und damit ist L1 auch schon gar nicht mehr erfüllt.
Wenn ich nun behaupten würde:
Für alle reellen Zahlen $x,y$ gilt: $x+y > 0$. Dann würdest du doch aufschreien und sagen:
Aber $x:=y:=-1 < 0$ liefert doch $x+y=-2 < 0$. Das stimmt doch nicht!
Ein Gegenbeispiel reicht hier aus, um die Behauptung zu widerlegen.
Überlege dir mal, was die Verneinung der Aussage:
Für alle $x,y [mm] \in [/mm] V$ gilt: $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ist (wenn die Verneinung der Aussage ja wahr ist, dann ist die Aussage falsch!)
Zunächst bekämst du:
Es gilt nicht: für alle $x,y [mm] \in [/mm] V$ gilt: $f(x+y)=f(x)+f(y)$.
Mit anderen Worten:
Es existieren $x,y [mm] \in [/mm] V$, die $f(x+y)=f(x)+f(y)$ nicht erfüllen, und wieder mit anderen Worten:
Es existieren $x,y [mm] \in [/mm] V$ mit $f(x+y) [mm] \ne [/mm] f(x)+f(y)$.
Und durch konkrete Zahlen habe ich die Existenz bewiesen und damit die Linearität widerlegt.
Vielleicht ist es jetzt etwas klarer geworden?
PS:
Überall dort, wo ich die Linearität bewiesen (also nicht widerlegt) habe, habe ich das ja nie für konkrete Vektoren (bzw. Zahlen, welche dort aber auch Vektoren waren) getan.
Achja: - Ein Beispiel ist kein Beweis! (Aber ein Gegenbeispiel ist ein "Gegenbeweis".)
entnommen von:
![[]](/images/popup.gif) http://www.math.uni-bonn.de/people/marteen/anleit/text.html
Viele Grüße
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 Mi 02.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo Marcel,
jetzt hat es Klick gemacht:) Danke kannst echt gut erklären!
Bis denn
nevinpol
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