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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 So 26.08.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Gib an ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
a) Es existiert eine injektive lineare Abbildung [mm] \IR^5 [/mm] -> [mm] \IR^4
[/mm]
b) Für jede lineare Abbildung [mm] \phi:\IR^4 [/mm] -> [mm] \IR^5 [/mm] gilt [mm] rank(\phi) [/mm] <= 4 |
b) Es stimmt.
Nach Satz in der Vorlesung : A [mm] \in M_{m \times n} (\IK) [/mm] 0 <= rank(A)<= min(n,m)
Hier für die assozierte Abbildung 0 <= [mm] rank(\phi) [/mm] <= min(4,5)
a) Da bin ich mir unsicher und weiß keine Begründung.
Ich denke es ist falsch. Aber man könnte doch die 5-te komponente immer 0 lassen?
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> Gib an ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
> a) Es existiert eine injektive lineare Abbildung [mm]\IR^5[/mm] ->
> [mm]\IR^4[/mm]
> a) Da bin ich mir unsicher und weiß keine Begründung.
> Ich denke es ist falsch.
Hallo,
ja.
> Aber man könnte doch die 5-te
> komponente immer 0 lassen?
Was meinst Du damit? Mach mal vor. Bestenfalls merkst Du dabei, was Du falsch machst.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:42 Mo 27.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Ich habe gelesen, dass es eine injektive abbildung von [mm] \IR^4 [/mm] -> [mm] \IR^5 [/mm] gibt
mit [mm] \vektor{a \\ b \\c\\d} [/mm] -> [mm] \vektor{a\\ b \\c\\d\\0}
[/mm]
Und da dachte ich vorher dass man von [mm] \IR^5 [/mm] -> [mm] \IR^4 [/mm] auch die fünfte Komponente 0 lässt und somit den definitionsbereich einschränkt.
Vlt kannst du da Licht in die Sache bringe.
LG,
quasimo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:54 Mo 27.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Beide Aufgaben kannst du mit der Dimensionsformel dim(V)=rang(f)+dim(ker(f)) lösen. Beachte bei der a), dass f injektiv [mm] \gdw ker(f)=\{0\} [/mm] gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Mo 27.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
danke für eure Antworten.
> a) Es existiert eine injektive lineare Abbildung f:$ [mm] \IR^5 [/mm] $ -> $ [mm] \IR^4 [/mm] $
dim(V) = 5 = rank(f) + dim(ker(f))
5 = rank(f) da ker(f)=0
Da rank(f) <= min (5,4) = 4 sein muss ist die Aussage falsch.
Passt es nun so?
LG,
quasimo
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Hallo,
jetzt paßt's.
LG Angela
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> Ich habe gelesen, dass es eine injektive abbildung von
> [mm]\IR^4[/mm] -> [mm]\IR^5[/mm] gibt
> mit [mm]\vektor{a \\
b \\
c\\
d}[/mm] -> [mm]\vektor{a\\
b \\
c\\
d\\
0}[/mm]
>
> Und da dachte ich vorher dass man von [mm]\IR^5[/mm] -> [mm]\IR^4[/mm] auch
> die fünfte Komponente 0 lässt und somit den
> definitionsbereich einschränkt.
Hallo,
wenn Du das tust, ist Dein Definitionsbereich aber nicht mehr wie gefordert der [mm] \IR^5, [/mm] sondern ein 4-dimensionaler Unterraum davon.
Diese Abbildung ist dann in der Tat injektiv - nur leider mit dem falschen Definitionsbereich.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Mo 27.08.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo, dazu habe ich noch eine Frage.
> Ich habe gelesen, dass es eine injektive abbildung von
> $ [mm] \IR^4 [/mm] $ -> $ [mm] \IR^5 [/mm] $ gibt
> mit $ [mm] \vektor{a \\ b \\ c\\ d} [/mm] $ -> $ [mm] \vektor{a\\ b \\ c\\ d\\ 0} [/mm] $
Hier wird doch dann auch der Zielbereich eingeschränkt als 4 dimensionaler Teilraum, wieso ist es da dennoch "erlaubt"?
LG,
quasimo
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> > Ich habe gelesen, dass es eine injektive abbildung von
> > [mm]\IR^4[/mm] -> [mm]\IR^5[/mm] gibt
> > mit [mm]\vektor{a \\
b \\
c\\
d}[/mm] -> [mm]\vektor{a\\
b \\
c\\
d\\
0}[/mm]
>
> Hier wird doch dann auch der Zielbereich eingeschränkt als
> 4 dimensionaler Teilraum, wieso ist es da dennoch
> "erlaubt"?
Hallo,
das, was Du zuvor im anderen Post tun wolltest, ist nicht verboten!
Es ist bloß nicht das wovon Deine Aufgabe sprach, nämlich von einer linearen Abbildung, deren Definitionsbereich der komplette [mm] \IR^5 [/mm] ist.
Der Definitionsbereich ist dann ein Unterraum des [mm] \IR^5.
[/mm]
Nun betrachten wir die Abbildung
[mm] f:\IR^4\to \IR^5 [/mm] mit
[mm] f($\vektor{a \\ b \\ c\\ d}):=\vektor{a\\ b \\ c\\ d\\ 0}$ [/mm] .
Der Definitionsbereich ist der [mm] \IR^4, [/mm] jedes Element des [mm] \IR^4 [/mm] darf eingesetzt werden.
f bildet ab in den [mm] \IR^5. [/mm] Das bedeutet, daß alle Funktionswerte dem [mm] \IR^5 [/mm] entstammen, was doch zweifelsohne der Fall ist.
Daß die Funktion in den [mm] \IR^5 [/mm] abbildet, bedeutet jedoch nicht, daß jedes Element des [mm] \IR^5 [/mm] getroffen werden muß!
Es muß ja nicht zwingend die Zielmenge gleich dem Bild sein.
Wenn dies jedoch der Fall ist, hat man es mit einer surjektiven Abbildung zu tun, und Du kannst Dir überlegen, daß es eine surjektive lineare Abbildung aus dem [mm] \IR^4 [/mm] in den [mm] \IR^5 [/mm] nicht gibt.
Den Zielbereich könntest Du hier einschränken, indem Du definierst:
[mm] U:=\{x\in \IR^5| x_5=0\},
[/mm]
[mm] f_1:\IR^4\to [/mm] U
[mm] f($\vektor{a \\ b \\ c\\ d}):=\vektor{a\\ b \\ c\\ d\\ 0}$ [/mm] .
Dies wäre eine lineare Abbildung, die aus dem 4-dimensionalen VR [mm] f($\vektor{a \\ b \\ c\\ d}):=\vektor{a\\ b \\ c\\ d\\ 0}$ [/mm] in den 4-dimensionalen VR U abbildet.
Die Abbildung [mm] f_1 [/mm] ist injektiv und surjektiv.
Betrachtest Du die Abbildung wie oben als Abbildung aus dem [mm] \IR^4 [/mm] in den [mm] \IR^5, [/mm] so ist sie injektiv, aber nicht surjektiv.
Wenn du eine Funktion definierst, so müssen sämtliche Elemente des Definitionsbereiches eingesetzt werden dürfen in die Funktionsgleichung.
Es ist aber nicht erforderlich, daß sämtliche Elemente der Zielmenge als Funktionswerte vorkommen. (Lediglich darf es nicht passieren, daß ein Funktionswert vorkommt, der gar nicht in der Zielmenge liegt.)
Ich hoffe, daß ich damit die Unklarheiten, die zur Verwirrung geführt haben, beseitigt habe.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Mo 27.08.2012 | | Autor: | quasimo |
danke! Nun ist alles klar ;)
LG,
quasimo
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