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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Di 10.11.2015 | | Autor: | Lars.P |
| Aufgabe | Im folgenden seien M,N und O Mengen und f: M [mm] \to [/mm] N, g: N [mm] \to [/mm] O
Funktionen. Beweisen Sie folgende Aussagen.
a) Falls f und g injektiv sind, dann ist g [mm] \circ [/mm] f injektiv. |
Ich habe die Aufgabe gelöst aber bin mir nicht sicher ob man das so zeigen darf bzw ob das so reicht. Wäre wirklich sehr nett, wenn mir jemand sagen kann ob das so richtig gezeigt ist oder ob man es anders machen sollte.
Danke schon mal im voraus.
f: M [mm] \to [/mm] N [mm] \wedge [/mm] g: N [mm] \to [/mm] O = injektiv
[mm] \Rightarrow [/mm] dann gilt g [mm] \circ [/mm] f injektiv
f(m)=N für alle n [mm] \in [/mm] N höchstens eine Lösung m [mm] \in [/mm] M
g(n)= O für alle o [mm] \in [/mm] o höchstens eine Lösung n [mm] \in [/mm] N
daraus folgt, dass g [mm] \circ [/mm] f = injektiv
f(m1)=f(m2) [mm] \Rightarrow [/mm] m1=m2
g(n1)=g(n2) [mm] \Rightarrow [/mm] n1=n2
g(f(m1)=g(f(m2) [mm] \Rightarrow [/mm] m1=m2
g [mm] \circ [/mm] f(n1)=g [mm] \circ [/mm] f(n2) [mm] \Rightarrow [/mm] n1=n2
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist injektiv, also muss m1=m2 gelten und g ist ebenfalls injektiv also muss f(m1)=f(m2) gelten.
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Hallo,
> Im folgenden seien M,N und O Mengen und f: M [mm]\to[/mm] N, g: N
> [mm]\to[/mm] O
> Funktionen. Beweisen Sie folgende Aussagen.
>
> a) Falls f und g injektiv sind, dann ist g [mm]\circ[/mm] f
> injektiv.
> Ich habe die Aufgabe gelöst aber bin mir nicht sicher ob
> man das so zeigen darf bzw ob das so reicht. Wäre wirklich
> sehr nett, wenn mir jemand sagen kann ob das so richtig
> gezeigt ist oder ob man es anders machen sollte.
> Danke schon mal im voraus.
>
> f: M [mm]\to[/mm] N [mm]\wedge[/mm] g: N [mm]\to[/mm] O = injektiv
> [mm]\Rightarrow[/mm] dann gilt g [mm]\circ[/mm] f injektiv
>
> f(m)=N für alle n [mm]\in[/mm] N höchstens eine Lösung m [mm]\in[/mm] M
>
> g(n)= O für alle o [mm]\in[/mm] o höchstens eine Lösung n [mm]\in[/mm] N
Hier ist doch Kuddelmuddel mit den Groß- und Kleinbuchstaben
>
> daraus folgt, dass g [mm]\circ[/mm] f = injektiv
>
> f(m1)=f(m2) [mm]\Rightarrow[/mm] m1=m2
> g(n1)=g(n2) [mm]\Rightarrow[/mm] n1=n2
Genau!
>
> g(f(m1)=g(f(m2) [mm]\Rightarrow[/mm] m1=m2
Dies gilt es ganz genau zu begründen! Im Prinzip hast du das mit den obigen beiden Zeilen getan, aber ich würde meinen, dass das für den Korrektor nicht "reicht"
Bei diesen Aufgaben, die man ja zu Beginn des Studiums bekommt, kommt es darauf an, das Beweisen zu üben und exakt an den Stellen, wo es benötigt wird, die richtige Begründung zu liefern:
Ich mache das mal ausführlich ...
Es ist [mm]g\circ f:M\to O[/mm], und du nimmst dir beliebige [mm]m_1,m_2\in M[/mm] her mit [mm]g\circ f(m_1)=g\circ f(m_2)[/mm] und musst zeigen, dass dann [mm]m_1=m_2[/mm] gelten muss:
[mm]g\circ f(m_1)=g\circ f(m_2)[/mm]
[mm]\gdw g(\underbrace{f(m_1)}_{=n_1})=g(\underbrace{f(m_2)}_{=n_2})[/mm]
[mm]\Rightarrow n_1=n_2[/mm], da [mm]g[/mm] injektiv ist.
[mm]\gdw f(m_1)=f(m_2)[/mm], so hatten wir das ja bezeichnet
[mm]\Rightarrow m_1=m_2[/mm], da [mm]f[/mm] injektiv ist
fertig 
> g [mm]\circ[/mm] f(n1)=g [mm]\circ[/mm] f(n2) [mm]\Rightarrow[/mm] n1=n2
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist injektiv, also muss m1=m2 gelten und g
> ist ebenfalls injektiv also muss f(m1)=f(m2) gelten.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Di 10.11.2015 | | Autor: | Lars.P |
Dankeschön für deine schnelle und ausführliche Hilfe, allerdings kann ich deinen Beweis nicht richtig entziffern weil mir nur die Zeichen angezeigt werden und ich diese auch nicht umschreiben kann.
Könntest du deinen Beweis vielleicht noch einmal schreiben ? Das wäre wirklich sehr sehr nett !
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Hi,
das geht leider nicht. Der Formeleditor spinnt momentag und zerschießt alles ...
Ich habe zunächst die Definition der Verknüpfung benutzt und statt
gof(m) geschrieben g(f(m)).
Das f(m) habe ich n genannt (n1 und n2 für f(m1) und f(m2)
Dann ist g injektiv, also n1=n2, gleichbedeutend mit f(m1)=f(m2).
Und mit der Injekt. von f schließlich m1=m2, was zu zeigen war ...
Kannst du dir das nun so zusammenschreiben?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Di 10.11.2015 | | Autor: | Lars.P |
Tut mir sehr leid, aber irgendwie kann ich das nicht nachvollziehen.
Wieso hast du denn manchmal einen Äquivalenzpfeil benutzt und manchmal nur einen Folgepfeil ? Und warum hast du g [mm] \circ [/mm] f(m) = g(f(m)) genannt ?
und warum f(m)=n gennant ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:19 Mi 11.11.2015 | | Autor: | fred97 |
Gehe doch einfach nach der Def. vor:
zu zeigen ist: aus a,b [mm] \in [/mm] M und g(f(a))=g(f(b)) folgt a=b.
Aus g(f(a))=g(f(b)) folgt wegen der Injektivität von g zunächst f(a)=f(b).
Da f injektiv ist folgt a=b.
Fertig
FRED
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