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| Aufgabe | Gegeben seien die Abbilgungen
f: [mm] \IC [/mm] \ {0} [mm] \to \IC [/mm] : z [mm] \mapsto [/mm] z + [mm] \bruch{1}{z}
[/mm]
g: [mm] \IC [/mm] \ {0} [mm] \to \IC [/mm] : z [mm] \mapsto [/mm] z + [mm] \bruch{i}{z}
[/mm]
sowie die Menge A = { z [mm] \in \IC [/mm] | |z| = 1 }
(a) zeichnen sie A, f(A) und g(A) in die komplexe Ebene ein.
(b) Bestimmen Sie {arg(z) | z [mm] \in \IC \wedge [/mm] f(z) = 1 } |
Hallo,
(a) A muss wohl ein Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt im Ursprung sein
bei f(A) und g(A) weiß ich nicht wie ich vorgehen soll. es werden wahrscheinlich punkte vom kreis von A in die Funktionen eingesetzt, aber ich habe keinen blassen schimmer, wie man komplexe zahlen in funktionen einsetzt bzw. was dabei rauskommt
(b) arg(z) is der winkel phi zwischen x-achse und f(z) sei stets 1.
a+bi + [mm] \bruch{1}{a+bi} [/mm] = 1
..?
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> Gegeben seien die Abbildungen
> f: [mm]\IC[/mm] \ {0} [mm]\to \IC[/mm] : z [mm]\mapsto[/mm] z + [mm]\bruch{1}{z}[/mm]
>
> g: [mm]\IC[/mm] \ {0} [mm]\to \IC[/mm] : z [mm]\mapsto[/mm] z + [mm]\bruch{i}{z}[/mm]
>
> sowie die Menge A = [mm] $\{ z \in \IC\ |\ |z| = 1 \}$
[/mm]
>
> (a) zeichnen sie A, f(A) und g(A) in die komplexe Ebene
> ein.
> (b) Bestimmen Sie [mm] $\{arg(z)\ |\ z \in \IC\ \wedge\ f(z) = 1 \}$
[/mm]
> Hallo,
> (a) A muss wohl ein Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt im
> Ursprung sein
>
> bei f(A) und g(A) weiß ich nicht wie ich vorgehen soll. es
> werden wahrscheinlich punkte vom kreis von A in die
> Funktionen eingesetzt, aber ich habe keinen blassen
> schimmer, wie man komplexe zahlen in funktionen einsetzt
> bzw. was dabei rauskommt
> (b) arg(z) is der winkel phi zwischen x-achse und f(z) sei
> stets 1.
>
> a+bi + [mm]\bruch{1}{a+bi}[/mm] = 1
>
> ..?
Hallo barischtoteles,
das mit der Menge A siehst du richtig: sie stellt den
Einheitskreis dar. Das deutet auch darauf hin, dass
man hier nicht mit cartesischen, sondern mit Polar-
koordinaten rechnen sollte.
Jeder Punkt [mm] z\in{A} [/mm] wird beschrieben durch
$\ z\ =\ [mm] z(\varphi)\ [/mm] =\ [mm] cos(\varphi)+i*sin(\varphi)\ [/mm] =\ [mm] e^{i*\varphi}$
[/mm]
Damit kommt man zu deutlich einfacheren Rechnungen
als mit der Form z=a+bi (mit [mm] a^2+b^2=1).
[/mm]
LG , Al-Chw.
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Danke schonmal für die Antwort.
muss es nicht heißen z= r cos phi + i sin phi ?
und auch wenn, ich kann damit leider überhaupt nichts anfangen, hilf mir bitte noch ein wenig auf die sprünge
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> Danke schonmal für die Antwort.
> muss es nicht heißen z= r cos phi + i sin phi ? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Du meinst: z= r*( cos phi + i sin phi)
Klammern notwendig !
Da aber im vorliegenden Fall für die Punkte auf
dem Einheitskreis A stets r=1 ist, habe ich diesen
dann überflüssigen Faktor weggelassen.
> und auch wenn, ich kann damit leider überhaupt nichts
> anfangen, hilf mir bitte noch ein wenig auf die sprünge
Gut, nehmen wir also mal die Abbildung f:
f: $ [mm] \IC \smallsetminus\{0\}\to\ \IC\ :\quad [/mm] \ z\ [mm] \mapsto\ [/mm] \ z + [mm] \bruch{1}{z} [/mm] $
wobei $ \ z\ =\ [mm] z(\varphi)\ [/mm] =\ [mm] cos(\varphi)+i\cdot{}sin(\varphi)\ [/mm] =\ [mm] e^{i\cdot{}\varphi} [/mm] $
Die Exponentialdarstellung (ich hoffe, dass dir diese nicht
ganz neu ist) ist hier sehr geeignet. Das Bild f(z) des
Punktes von A mit Argument(winkel) [mm] \varphi [/mm] ergibt sich nach
der Funktionsvorschrift so:
$\ f(z)\ =\ [mm] f(z(\varphi))\ [/mm] =\ [mm] f\left(e^{i\cdot{}\varphi}\right)\ [/mm] =\ [mm] e^{i\cdot{}\varphi} [/mm] + [mm] \bruch{1}{e^{i\cdot{}\varphi}} [/mm] $
Nun gilt auch im Komplexen das Potenzgesetz [mm] $\bruch{1}{e^{a}}\ [/mm] =\ [mm] e^{-a}$
[/mm]
Wende dies an und schau, wie sich dann der Term
für [mm] f(z(\varphi)) [/mm] vereinfachen und verstehen lässt. Es ist
dann auch nützlich, wenn du wieder die kartesische
Darstellung mittels Real- und Imaginärteil heranziehst !
LG , Al-Chwarizmi
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sehr schön erklärt danke!
somit ist [mm] f(e^{i\varphi})=e^{i\varphi} [/mm] + [mm] \bruch{1}{e^{i\varphi}}
[/mm]
= [mm] e^{i\varphi} [/mm] + [mm] e^{-(i\varphi)}
[/mm]
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> sehr schön erklärt danke!
You're welcome !
> somit ist [mm]f(e^{i\varphi})=e^{i\varphi}\ +\ \bruch{1}{e^{i\varphi}}[/mm]
>
> = [mm]e^{i\varphi}[/mm] + [mm]e^{-(i\varphi)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja.
Und jetzt mit Real- und Imaginärteil ?
Und was bedeutet es geometrisch in der
komplexen Ebene für diese Abbildung f ?
LG , Al-Chw.
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also ich habe durch recherche rausgefunden, dass der term gleich 2 cos phi ist.
tut mir leid ich kann keine deiner fragen beantworten
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$ [mm] f(e^{i\varphi})=e^{i\varphi}\ [/mm] +\ [mm] \bruch{1}{e^{i\varphi}} [/mm] $
>
> = $ [mm] e^{i\varphi} [/mm] $ + $ [mm] e^{-(i\varphi)} [/mm] $
Und jetzt mit Real- und Imaginärteil ?
> also ich habe durch recherche rausgefunden, dass der term
> gleich 2 cos phi ist.
Durch Recherche ? Dann schauen wir uns das mal
kurz an:
Du weißt (hoffe ich) : $\ [mm] e^{i\varphi}\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{cos(\varphi)}_{Realteil}+\ [/mm] \ [mm] i*\underbrace{sin(\varphi)}_{Imagin \ddot a rteil}\ [/mm] =\ c+i*s$
Dann ist $\ [mm] e^{-\ i\varphi}\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{cos(-\varphi)}_{Realteil}+\ [/mm] \ [mm] i*\underbrace{sin(-\varphi)}_{Imagin \ddot a rteil}$
[/mm]
$\ =\ [mm] \underbrace{cos(\varphi)}_{Realteil}-\ [/mm] \ [mm] i*\underbrace{sin(\varphi)}_{Imagin \ddot a rteil}\ [/mm] =\ c-i*s$
(hier wurden die Symmetrieeigenschaften von
cos und sin verwendet !)
Damit haben wir: $\ [mm] f(z(\varphi))\ [/mm] =\ f(c+i*s)\ =\ [mm] \underbrace{c+i*s}_z+\underbrace{c-i*s}_{\frac{1}{z}}\ [/mm] =\ 2*c$
Und was bedeutet es geometrisch in der
komplexen Ebene für diese Abbildung f ?
Die Gleichung $\ f(z)\ =\ 2*c\ =\ 2*Re(z)$
bedeutet geometrisch, dass man für jeden Punkt
z des Einheitskreises A den Bildpunkt f(z) findet,
indem man einfach denjenigen Punkt auf der
reellen Achse markiert, der den doppelten
Realteil der Zahl z hat. Die ganze Abbildung f
könnte man geometrisch so beschreiben:
In einem ersten Schritt walzt man einfach den
Kreis flach zusammen auf seinen auf der reellen
Achse liegenden Durchmesser. Dabei wird jedem
Punkt z der Fußpunkt des Lotes von z auf die
waagrechte Achse zugeordnet. In einem zweiten
Schritt streckt man dann dieses Bild, also das
Intervall [-1...+1] der reellen Achse, mit dem
Streckfaktor 2 auf das endgültige Bild
f(A) = [-2...+2] [mm] \subset \IR [/mm]
So - jetzt bleibt dir noch die Abbildung g als passende
Übungsaufgabe, um die Konzepte zu vertiefen !
LG
Al-Chwarizmi
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besten dank!
Eins verstehe ich aber nicht. Wenn ich das intervall mit de faktor 2 strecke muss es doch f(A)=[-2...2] sein oder?
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> besten dank!
> Eins verstehe ich aber nicht. Wenn ich das intervall mit
> de faktor 2 strecke muss es doch f(A)=[-2...2] sein oder?
Na klar. Wieder so ein doofer Fehler: copy and paste -
und dann die kleine nötige Abänderung schon wieder
vergessen ...
LG und schönen Abend ! Al-Chw.
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