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| Aufgabe | 1) Seien X,Y zwei nichtleere Mengen und [mm] f:X\toY [/mm] eine Abbildung. Zeigen Sie: Existieren zwei Abbildungen [mm] g,h:Y\toX [/mm] mit g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_x [/mm] und f [mm] \circ [/mm] h = [mm] id_y, [/mm] so ist g= g. Weiter ist f bijektiv und $f^-^1$ =g(=h).
2) Seien X, Y zwei Mengen und F: [mm] X\toY [/mm] bijektiv. Zeigen Sie, dass $f^-^1$ bijektiv ist mit ($f^-^1$)$^-^1 = f$
3) Relation auf der Menge {1,2,3} die symmetrisch und transitiv ist, aber nicht reflexiv. |
Fangen wir mit dem leichteren an 3)
R = {(1,2),(1,3),(2,3),(3,2),(3,1),(2,1)}
Ist das richtig? Hab ich was vergessen? Oder gar flasch?
Reflexiv ist sie nicht da (1,1), (2,2), (3,3) ja nicht in der Relation vorkommen. Symmetrisch da jedes paar auch umgekehrt vorkommt (1,2) <=> (2,1) etc. Transitiv da aus (1,2) und (2,3) folgert das (1,3) auch in relation stehen.
Zu 1) fehlen mir irgendwie ideen. Wäre über ein anstupsen dankbar.
Muss ich hier mit surjektiv, injektiv und bijektiv arbeiten? oder irgendwas über g [mm] \circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] h...?
zu 2) Zeig ich die bijektivität via sur- und injektivität der umkehrfunktion. Bijektiv hatte ich bisher doch immer über XYZ und nie über X und Y. $f^-^1$, ($f^-^1$)$^-^1 = f = f(f(y)) = f$... das sieht falsch aus. :X
Die Aufgabe ist bis morgen fällig, leider haben die anderen HA Aufgaben mein gesamtes Wochenende gefressen - dafür sind diese aber auch fertig.
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> 1) Seien X,Y zwei nichtleere Mengen und [mm]f:X\to Y[/mm] eine
> Abbildung. Zeigen Sie: Existieren zwei Abbildungen
> [mm]g,h:Y\to X[/mm] mit g [mm]\circ[/mm] f = [mm]id_x[/mm] und f [mm]\circ[/mm] h = [mm]id_y,[/mm] so ist
> g=h. Weiter ist f bijektiv und [mm]f^-^1[/mm] =g(=h).
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> 2) Seien X, Y zwei Mengen und f: [mm]X\to Y[/mm] bijektiv. Zeigen
> Sie, dass [mm]f^-^1[/mm] bijektiv ist mit ([mm]f^-^1[/mm])[mm]^-^1 = f[/mm]
>
> 3) Relation auf der Menge {1,2,3} die symmetrisch und
> transitiv ist, aber nicht reflexiv.
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> Fangen wir mit dem leichteren an 3)
>
> R = {(1,2),(1,3),(2,3),(3,2),(3,1),(2,1)}
> Ist das richtig? Hab ich was vergessen? Oder gar flasch?
> Reflexiv ist sie nicht da (1,1), (2,2), (3,3) ja nicht in
> der Relation vorkommen. Symmetrisch da jedes paar auch
> umgekehrt vorkommt (1,2) <=> (2,1) etc. Transitiv da aus
> (1,2) und (2,3) folgert das (1,3) auch in relation stehen.
usw.
Hallo,
die 3. hast Du richtig überlegt.
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> Zu 1) fehlen mir irgendwie ideen. Wäre über ein anstupsen
> dankbar.
> Muss ich hier mit surjektiv, injektiv und bijektiv
> arbeiten? oder irgendwas über g [mm]\circ[/mm] f [mm]\circ[/mm] h...?
Letzteres. Zeige, daß g(y) und h(y) für jedes [mm] y\in [/mm] Y gleich sind:
sei [mm] y\in [/mm] Y.
Betrachte nun die Funktion [mm] g\circ [/mm] f an der Stelle h(y), berechne also mal [mm] (g\circ [/mm] f)(h(y)) ...
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> zu 2) Zeig ich die bijektivität via sur- und injektivität
> der umkehrfunktion. Bijektiv hatte ich bisher doch immer
> über XYZ und nie über X und Y. [mm]f^-^1[/mm], ([mm]f^-^1[/mm])[mm]^-^1 = f = f(f(y)) = f[/mm]...
> das sieht falsch aus. :X
Nun, Du mußt "ganz normal" die Bijektivität von [mm] f^{-1} [/mm] zeigen.
Dafür darfst Du verwenden, daß [mm] f^{-1} [/mm] die Umkehrfunktion von f ist.
injektiv:
Sei [mm] f^{-1}(a)=f^{-1}(b) [/mm] ==> ... ==> ... ==> a=b.
(Wende dazu f auf [mm] f^{-1}(a)=f^{-1}(b) [/mm] an.)
surjektiv:
Sei [mm] x\in [/mm] X. Nun mußt Du ein Element aus Y angeben, welches auf x abgebildet wird, für welches also [mm] f^{-1}(...)=x [/mm] gilt.
LG Angela
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> Die Aufgabe ist bis morgen fällig, leider haben die
> anderen HA Aufgaben mein gesamtes Wochenende gefressen -
> dafür sind diese aber auch fertig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Di 06.11.2012 | | Autor: | Ifeeldumb |
danke :)
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